Cierre el formulario para $\int_0^\infty\frac{\log\left(1+\frac{\pi^2}{4\,x}\right)} {e ^ {\sqrt {x}} -1} \mathrm dx$

Question

Me encontré con esta integral en mis cálculos:

$$\int_0^\infty\frac{\log\left(1+\frac{\pi^2}{4\,x}\right)}{e^{\sqrt{x}}-1}\mathrm dx=2\int_0^\infty\frac{x\log\left(1+\frac{\pi^2}{4\,x^2}\right)}{e^x-1}\mathrm dx=6.041880938342236884944983747836284...,$$

pero no pudo encontrar una forma cerrada de la representación. He intentado reemplazar un factor constante de $\frac{\pi^2}4$ con un parámetro y tomar un derivado, que hizo que la mirada integral más sencilla, pero yo todavía no tuvo éxito en su resolución.

También traté de encontrar posibles formas cerradas utilizando la Inversa de la Calculadora Simbólica y WolframAlpha pero no encontró nada.

Podría usted por favor me ayude a encontrar una forma cerrada (incluso el uso de no-elementales funciones especiales), si es que existe?

Answer 1

Una forma cerrada, de hecho, existe para esta integral: $$\int_0^\infty\frac{\log\left(1+\frac{\pi^2}{4\,x}\right)}{e^{\sqrt{x}}-1}\mathrm dx=\pi^2\left(\log\frac{\pi\,^9\sqrt{2}}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}-\frac{9}{8}\right)+2\,\pi\,C,$$ donde $A$ es la Glaisher-Kinkelin constante y $C$ es el catalán constante.

Una más general resultado: $$\int_0^\infty\frac{\log\left(1+\frac{a}{x}\right)}{e^{\sqrt{x}}-1}\mathrm dx=8\,\pi^2\psi^{(-2)}\left(\frac{\sqrt{a}}{2\pi}\right)-\frac{a}2\left(1+\log\frac{4\pi^2}{a}\right)-2\pi\sqrt{a}\left(1+2\log\Gamma\left(\frac{\sqrt{a}}{2\pi}\right)\right),$$ donde $\psi^{(-2)}(z)$ es la generalizada polygamma función.

La prueba se basa en Binet la segunda fórmula, pero todavía tengo que ordenar algunos detalles.