¿Por qué está bien factorizar una ecuación sin límite para que tenga un límite?

Question

Estoy empezando con el cálculo, así que por favor, tened paciencia si no es una pregunta sensata.

En el libro que estoy leyendo, el autor pone el ejemplo del problema de encontrar el límite de $\lim\limits_{x\to 5}(\frac{x^2 - 25}{x-5})$ porque si se sustituye por $x=5$ se obtiene un denominador de $0$ por lo que la salida de la función en $x=5$ es indefinido.

A continuación, demuestra cómo al factorizar esta ecuación a $\lim\limits_{x\to 5}(x+5)$ Ahora puede conectar $x=5$ para conseguir $\lim\limits_{x\to 5}(x+5) = 10$ .

Pero, ¿no es el hecho de que "en $x=5$ la función es indefinida" una parte integral de la función original? Al factorizarla, ¿no has añadido al dominio de la función original y por tanto has creado una función diferente? ¿Así que ahora tienes el límite de una función diferente?

Answer 1

Considere $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$ y $g(x)=x+5$ .

Si $x\neq 5$ entonces $f(x)=g(x)$ Así que para todos $x$ , excepto en el caso de $x=5$ los gráficos de $f(x)$ y $g(x)$ son idénticos.

En $x=5$ , $f(x)$ es indefinido pero $g(5)=10$ .

Por lo tanto, el gráfico de $f(x)$ es lo mismo que $g(x)$ excepto que tiene un agujero en $x=5$ .

Si se dibuja este cuadro queda claro por qué los límites son los mismos.

+1 por hacer la pregunta --- es una que los estudiantes a menudo no preguntan a menos que el instructor realmente muestre que las funciones que son iguales en todos los puntos - excepto quizás en un solo punto - tienen límites iguales.

Answer 2

Las funciones no son necesariamente iguales a sus límites. Sí, la función es indefinida, pero el límite es de hecho 10. En realidad, se puede demostrar fácilmente que este es el caso directamente desde la definición de un límite.

En general, estás pensando en funciones continuas . Es equivalente a la definición de una función continua (o, según el texto, es la definición de una función continua), que la función sea igual a su límite. Sin embargo, es fácil ver que esta función no es continua en x=5, dado que la función no está definida allí, como tú notas.

Answer 3

Es fácil formalizar lo que están haciendo. Están diciendo, donde $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$ y $g(x)=x+5$ :

Hay un barrio perforado alrededor de $5$ (es decir, un conjunto de $x\neq 5$ con $|x-5|<\varepsilon$ ) tal que $f(x)=g(x)$ . Por lo tanto, $$\lim_{x\rightarrow 5}f(x)=\lim_{x\rightarrow 5}g(x).$$ Sin embargo, $g(x)$ es continua, por lo tanto $$\lim_{x\rightarrow 5}g(x)=g(5).$$

Así que, en realidad hay dos pequeños pasos aquí - primero es hacer la simplificación, que sólo se basa en $f$ y $g$ coincidiendo con cerca de $5$ . En segundo lugar, hay que introducir el valor para obtener el límite, que se basa en $g$ siendo continua. Así que, sí, aunque $f$ no se definió en $5$ no importa, porque ya habíamos cambiado $f$ para $g$ en ese momento.

Answer 4

Tienes razón al notar que hay algo extraño, ya que hay que decir que nunca hay que dividir arriba y abajo por cero, ya que puede dar afirmaciones patológicas. Si dividimos por $(x-5)$ de la parte superior e inferior mientras que $x=5$ entonces sí, es un problema.

Sin embargo, el argumento es que en realidad no estamos dividiendo por cero nunca, y estamos interesados en dividir $(x+\epsilon-5)$ desde arriba y abajo, donde $\epsilon\neq 0$ y están interesados en lo que sucede como $\epsilon$ se vuelve arbitrariamente pequeño (pero aún no es cero).

Como se nos permite dividir arriba y abajo por números no nulos, no hay contradicción, y el límite se convierte en $\lim\limits_{x+\epsilon\to 5}(x+\epsilon+5)$ que si $\epsilon$ es suficientemente pequeño es por definición igual a $10$ .

Answer 5

En primer lugar, le mostraré la solución a su problema:

$$\lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{x-5}=$$ $$\lim_{x\to5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=$$ $$\lim_{x\to5}x+5=5+5=\boxed{10}.$$

Para responder a tu pregunta en pocas palabras, estás simplificando la función continua. Así que esencialmente, $\frac{x^2-25}{x-5}$ equivale a $x+5$ por medio de la factorización para que la función no se modifique. Simplemente simplificado.

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También podemos demostrar este límite realizando una prueba delta-epsilon:

Prueba. Dejemos que $\epsilon>0$ . Elija $\delta=\epsilon$ . Si $0<|x-5|<\delta$ entonces $$\left|\frac{x^2-25}{x-5}-10\right|=\left|\frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)}-10\right|=|x+5-10|=|x-5|<\delta=\epsilon.$$

Así, tenemos $\left|\frac{x^2-25}{x-5}-10\right|<\epsilon. \ \ \ \ \ \ \ \blacksquare$