Dimensión de la gama de una función

Question

Deje que$f$ sea una función racional de la variedad afín$X$ a la variedad afín$Y$. ¿Es siempre cierto que$\dim X \geq \dim f(X)$? Si es así, ¿puede alguien proporcionarme una prueba de ello? Para mí, esto es intuitivamente cierto.

Además, ¿es esto cierto para las funciones en general?

Answer 1

Es cierto si $X$ $f(X)$ son localmente noetherian esquemas, y $f$ es un abierto o cerrado de morfismos. Ver (EGA, IV_2, 5.4.1). Aquí está la prueba al $f$ está abierto.

Por la definición de la dimensión es suficiente para probar que para cada secuencia $(y_i)$ $(0 \le i \le n)$ de distintos puntos de $f(X)$$y_i \in \overline{\{ y_{i+1}\}}$$0 \le i \le n-1$, existe una secuencia $(x_i)$ $(0 \le i \le n)$ de puntos de $X$ tal que $x_i \in \overline{\{x_{i+1}\}}$ $0 \le i \le n-1$ $f(x_i) = y_i$ todos los $i$. La existencia de $x_0 \in X$ es clara. Supongamos que los puntos de $x_i$ son determinados por $i \le m$. Desde $f$ está abierto, y $y_m$ es una especialización de $y_{m+1}$, existe un punto de $x_{m+1} \in f^{-1}(y_{m+1})$ tal que $x_m$ es una especialización de la misma. Este último hecho puede ser visto por la reducción de los afín caso. De ahí el reclamo de la siguiente manera inductiva.