Deje que$M$ sea una variedad simpléctica, ¿por qué es exacta la siguiente secuencia? $$0\to \mathbb{R} \to C^\infty (M)\to A\to 0$ $ Aquí$A$ es el conjunto de campos vectoriales hamiltonianos globales.
Respuesta
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Sugerencia: deje $\phi:C^{\infty}(M)\rightarrow A$$f\mapsto \phi(f)=X_f$. La única que no es trivial parte de su declaración de demostrar que es $\ker\phi=\mathbb R$. En otras palabras, $X_f(g)=\{f,g\}=0$ todos los $g$ implica $f$ constante. Aquí vamos a considerar $M$ a ser conectado.
Deje $\omega=dq^i\wedge dp_i$ ser el simpléctica 2-forma de s y
$$X_f=\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}- \frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial}{\partial p_i}$$
sea el campo vectorial Hamiltoniano $X_f$, tanto en coordenadas canónico.
Queremos demostrar que $X_f(g)=\{f,g\}=0$ todos los $g\in C^{\infty}(M)$ implica $f$ constante. Entonces
$$X_f(g)=\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q^i}- \frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial g}{\partial p_i}=0~~ (*) $$ para todos los $g$ implica
$$\frac{\partial f}{\partial p_i}=\frac{\partial f}{\partial q^i}=0,$$
para todos los $i=1,\dots,2n$. Elegimos $g=q^j$ $g=p_j$ todos los $j$'s en (*). La declaración de la siguiente.
