¿En qué caso$\mathbb E[X]=\sum _ix_i P[x_i]$ puede ser$0$ cuando todos los$x$ 's no son cero ($0$)?

Question

Supongamos que$X$ es una variable aleatoria y los$x$ 's son realizaciones de$X$.

Diga,$\mathbb E[X]=\sum _ix_i P[x_i]=0$. ¿Pero no entiendo en qué caso$\mathbb E[X]=\sum _ix_i P[x_i]$ puede ser$0$ cuando todos los$x$ 's no son cero ($0$)?

Answer 1

Qué tal si

PS

Answer 2

Al menos uno de los $x_i$ en el apoyo de $X$ debe ser negativo para la media es igual a cero, por lo tanto no es distinto de cero la probabilidad de un resultado positivo $x_i$ se producen. De lo contrario, cada una de las $x_i P(X=x_i) \geq 0$, y hay al menos un $i$ que $x_i P(X=x_i) > 0$, lo $\mathbb{E}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) > 0$.

Por analogía con la mecánica, la media es el "primer momento" de la distribución. Imagina una luz sierra de ver con los pesos correspondientes a la probabilidad de masas, $P(X=x_i)$, cada uno colocado en una posición $x_i$ desde el punto cero en la línea. Un negativo $x_i$ estaría a la izquierda del punto cero, un resultado positivo de $x_i$ a la derecha. Si la media es cero, es decir el centro de masa de probabilidad de masas es el punto cero para la sierra de ver, sería perfectamente equilibrada si colocamos el pivote allí.

En el ejemplo anterior, puse:

$\Pr(X=x) = \begin{cases} 2/10 & \text{if } x = -3 \\ 3/10 &\text{if } x = 0 \\ 4/10 & \text{if } x = 1 \\ 1/10 & \text{if } x = 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}$

Can you see, physically, why the see-saw will not turn about the pivot, because its clockwise and anticlockwise moments about zero are balanced? Can you use $\mathbb{E}(X)=\sum_i x_i P(X=x_i)$ to show why $\mathbb{E}(X)=0$? Of course, there are very many different distributions I could have chosen. Any distribution which is symmetric about zero, such as the Rademacher distribution in Stephan Kolassa's answer, or the famous standard normal distribution, as an example of a continuous variable, would have worked too. But this example shows some asymmetric distributions also work.

If you only allowed a probability mass at zero, and at least one probability mass on the right hand side (corresponding to a positive $x_i$), but disallowed any masses on the left hand side (negative $x_i$) then there would be a moment about zero turning it clockwise. So we could not balance the see-saw with a pivot at zero, hence zero cannot be the mean. Intuitively this is why, for a zero mean, we need to balance out the positive $x_i$ on the right with at least one negative $x_i$ on the left which can give us the counterbalancing anti-clockwise moment.

Consider the random variable with the following probability mass function. It would not balance about zero (it would tip clockwise if you pivoted it there), but would balance about a pivot at $\mathbb{E}(X)=2$. Note that taking moments about zero finds the first (raw) moment, which by definition is equal to the mean. You can verify that, taking clockwise as positive, the total moment about zero here is indeed $2$. Por otro lado, tomando momentos alrededor de la media se encuentra el primer momento central. Ahora, como la distribución equilibrada de la media, el momento total es cero: este es un resultado general, y la primera central de momento, si es que existe, es siempre cero. (El segundo momento central, donde nos cuadrado de la distancia desde la media antes de sumar, es bastante más interesante: es la varianza de la distribución.)

\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 3 \\ \hline \Pr(X=x) & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{4}{7}\\ \hline \end{array}

Nosotros podemos transformar esta distribución para tener cero significa moviendo la probabilidad de masas alrededor. Una manera simple es seguir Glen_b la sugerencia y definir $Y=X - \mu_X$. La nueva media es $\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(X - \mu_X) = \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(\mu_X) = \mu_X - \mu_X = 0$ (usando la linealidad de las expectativas, y que la expectativa de una constante es la constante de sí mismo). En nuestro caso $Y=X-2$: traducimos las masas en la sierra de ver a la izquierda por dos unidades. Después de la traducción, hemos probabilidad de masas en tanto positivos como negativos de las posiciones, por lo que el sentido horario y en sentido antihorario momentos alrededor de cero puede cancelar a la otra. Nota cómo el centro de masa puede estar en cero, incluso con ninguna masa colocado allí!

\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline y & -2 & -1 & 1 \\ \hline \Pr(Y=y) & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{4}{7}\\ \hline \end{array}

R código de see-saw parcelas (pivotes añadido en MS Paint)

seesawPlot <- function(values, masses, xlimits=c(-max(abs(values)), max(abs(values)))) {
    x <- rep(values, times=masses)
    y <- unlist(lapply(masses, function(i){1:i}))
    plot(x, y, ylim=c(0,50), xlim=xlimits, pch=19, col="blue",
        yaxt="n", yaxs="i", frame=F, xlab="", ylab="")
}

values <- c(-3, 0, 1, 2); masses <- c(2, 3, 4, 1)
seesawPlot(values, masses)

values <- c(0, 1, 3); masses <- c(1, 2, 4)
seesawPlot(values, masses)

values <- values - 2
seesawPlot(values, masses, xlimits=c(-3,3))

Answer 3

Pero no entiendo, en cuyo caso $E[X]=∑_ix_iP[x_i]$ $0$ cuando todos los $x$'s no son cero ($0$)

Usted puede construir cualquier número de tales distribuciones.

por ejemplo, vamos a $Y\sim F_Y$ por alguna función de distribución de $F_Y$, con una media de $\mu$, en la que no todos los valores se encuentran en la media-a continuación, algunos se encuentran por encima de ella y algunos se encuentran debajo de la misma.

Deje $X=Y-\mu$. A continuación,$E(X)=0$.

($\text{Var}(X)$ y, de hecho, todos los momentos principales serán afectados por el cambio.)

La masa que estaba por debajo de la media ahora están por debajo de 0, y la masa por encima de él se encuentran por encima de cero.

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Después de ponderar la cuestión más de cerca, me pregunto si la pregunta aquí:

$E[X]=∑_ix_iP[x_i]$ $0$ cuando todos los $x$'s no son cero ($0$)

en realidad es "¿cómo puede la expectativa de ser un valor que no observables"? La respuesta a la que sigue directamente de la definición de las expectativas. Es análoga a la pregunta: "¿cómo puede el centro de masa de Plutón-Caronte sistema se encuentran fuera de cualquiera de cuerpo?" (Lo mismo es cierto para el sistema tierra-luna.)

El centro de masa puede estar en un lugar donde no hay nada de masa. No es más sorprendente que la probabilidad de masa (o de densidad de probabilidad) que para la masa física.

Handwaving un lado, la respuesta, finalmente, cae de nuevo a "porque es definido de ese modo".

Si llevo a una feria de seis caras morir, el resultado medio es de 3,5 aunque usted nunca puede observar en un único resultado (y la mayoría de los injustos (cargado) de seis caras de los dados también han observables que significa). No hay nada de mágico - el promedio a largo plazo de muchos tiros puede ser un valor que no puedes ver en una sola tirada. De hecho, es aceptable para ser un valor no se puede observar en cualquier número finito de lanzamientos (la expectativa puede ser irracional).