Soluciones de forma cerrada de$\ddot x(t)-x(t)^n=0$

Question

Dada la ODE:$$\ddot x(t)-x(t)=0$ $ la solución es:$$x(t)=C_1\exp(-t)+C_2\exp(t)$ $ Si cuadramos el$x(t)$ tenemos:$$\ddot x(t)-x(t)^2=0$ $ y la solución está dada por:$$x(t)=6\wp(t+C_1;0,C_2)$ $ y así para$x(t)^3$ que da:$$x(t)=\operatorname{sn}\left(\left(\frac{1}{2}i\sqrt t +C_1\right)C_2,i\right)$ $ Más en general, ¿es posible encontrar soluciones de formulario cerrado para la ecuación:$$\ddot x(t)-x(t)^n=0$ $?

Gracias.

Answer 1

$$\begin{align*} y''-y^n&=0\\ y'y''&=y'y^n\\ \int y'y'' dx &=\int y'y^n dx\\ \frac{(y')^2}{2} &=\frac{y^{n+1}}{n+1} +c_1\\ y' &=\sqrt {\frac{2y^{n+1}}{n+1} +2c_1 }\\ \int \frac{dy}{\sqrt {\frac{2y^{n+1}}{n+1} +2c_1 }} &=\int dx =x+a\\ \frac{1}{(2c_1)^{1/2}}\int \frac{dy}{ \sqrt{1+\frac{y^{n+1}}{c_1(n+1)}}} &=x+a\\ \int \frac{dy}{ \sqrt{1+\frac{y^{n+1}}{c_1(n+1)}}} &=(2c_1)^{1/2}x+a(2c_1)^{1/2}=(2c_1)^{1/2}x+c_2 \end{align*}$$ Después de aquí puede cambiar la variable y utilizar el binomio de expansión para evaluar la integral.

$u=\frac{y^{n+1}}{c_1(n+1)}$

$${(1+u)}^{\alpha}= \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} u^n=1+ \alpha \frac{u}{1!}+\alpha (\alpha-1) \frac{u^2}{2!}+\dots$$

He evitado hacer muchos cálculos, y he preferido utilizar la forma rápida: pedir Wolfram Alpha. Aquí hay un enlace a la solución.

$k=\frac{1}{c_1(n+1)}$

$\int \frac{dy}{ \sqrt{1+ky^{n+1}}} =y. _2F_1 (\frac{1}{2},\frac{1}{n+1};\frac{n+2}{n+1}; -ky^{n+1}) = y. _2F_1 (\frac{1}{2},\frac{1}{n+1};\frac{n+2}{n+1}; -\frac{y^{n+1}}{c_1(n+1)})=(2c_1)^{1/2}x+c_2 $

Solución en forma cerrada como función Hipergeométrica $$_2F_1 (\frac{1}{2},\frac{1}{n+1};\frac{n+2}{n+1}; -\frac{y^{n+1}}{c_1(n+1)})=\frac{1}{y}(\sqrt{2c_1}x+c_2 )$$

Answer 2

Como un apéndice de este tipo para Mathlover la respuesta: la ecuación diferencial

$$(y^\prime)^2=2\left(\frac{y^{n+1}}{n+1}+c_1\right)$$

es de hecho una especie de ecuación que se resuelve por la Abelian (hyperelliptic) funciones, en el sentido de que la integral

$$\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^{n+1}+c}}$$

es un hyperelliptic (Abelian) integral (que, como ya se ha señalado, puede ser representada en términos de la función hipergeométrica de Gauss), y el original de la ecuación diferencial se resuelve mediante la inversión de esta integral; es decir, con Abelian funciones. Desde Mathematica y Wolfram Alpha no saben nada acerca de Abelian funciones, que son incapaces de seguir, y que acaba de salir de una ecuación implícita como resultado.

Como era de esperar, al $n=2$ o $3$, el hyperelliptic integral se convierte en una integral elíptica, y por lo tanto la ecuación diferencial se espera tener elíptica función de las soluciones. Voy a llevar a cabo la inversión de forma explícita para los dos casos.

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Para $n=2$, tenemos, después de la absorción de constantes arbitrarias, la expresión

$$\int\frac{\mathrm dy}{\sqrt{y^3+C_1}}=\sqrt{\frac23}x+C_2$$

Para hacer la integral de la izquierda un poco más reconocible, se multiplica por una constante en ambos lados:

$$\frac12\int\frac{\mathrm dy}{\sqrt{y^3+C_1}}=\frac12\left(\sqrt{\frac23}x+C_2\right)$$

que se convierte en

$$\int\frac{\mathrm dy}{\sqrt{4y^3+4C_1}}=\frac{x}{\sqrt 6}+\frac{C_2}{2}$$

y ahora reconocemos la Weierstrass integral elíptica correspondiente a la cúbico $4y^3-g_2 y-g_3$ en el lado izquierdo, con los invariantes $g_2=0$$g_3=-4C_1$. Los rendimientos de la inversión

$$y=\wp\left(\frac{x}{\sqrt 6}+\frac{C_2}{2};0,-4C_1\right)$$

o, después de la absorción de constantes arbitrarias,

$$y=\wp\left(\frac{x}{\sqrt 6}+C_2;0,C_1\right)=6\wp\left(x+C_2;0,C_1\right)$$

donde la homogeneidad de la relación de $\wp$ se utilizó para obtener la expresión final.

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Para $n=3$, tenemos (cambiando la forma de una de las constantes arbitrarias por conveniencia)

$$\int\frac{\mathrm dy}{\sqrt{y^4+C_1^4}}=\frac{x}{\sqrt 2}+C_2$$

Podemos intentar una sustitución de Weierstrass $y=C_1 \cot\frac{t}{2}$ aquí:

$$\frac1{2C_1}\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-\frac12\sin^2 t}}=\frac{x}{\sqrt 2}+C_2$$

y reconocemos la incompleta integral elíptica de primera especie en este punto (y la absorción de constantes arbitrarias mientras estamos en ella):

$$\frac1{C_1}F\left(2\mathrm{arccot}\frac{y}{C_1}\mid\frac12\right)=\frac{x}{\sqrt 2}+C_2$$

Podemos resolver para $y$ en etapas:

$$\begin{align*} F\left(2\mathrm{arccot}\frac{y}{C_1}\mid\frac12\right)&=C_1 x+C_2\\ 2\mathrm{arccot}\frac{y}{C_1}&=\mathrm{am}\left(C_1 x+C_2\mid\frac12\right)\\ y&=C_1\cot\left(\frac12\mathrm{am}\left(C_1 x+C_2\mid\frac12\right)\right)\\ y&=C_1\frac{\sin\left(\mathrm{am}\left(C_1 x+C_2\mid\frac12\right)\right)}{1-\cos\left(\mathrm{am}\left(C_1 x+C_2\mid\frac12\right)\right)}\\ y&=C_1\frac{\mathrm{sn}\left(C_1 x+C_2\mid\frac12\right)}{1-\mathrm{cn}\left(C_1 x+C_2\mid\frac12\right)} \end{align*}$$

y eso es cómo Jacobiana elíptica funciones en la solución.

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Como resulta, la hyperelliptic funciones para $n$ un entero impar, teóricamente, puede ser expresada en términos de funciones elípticas, pero las expresiones parecen bastante difícil de manejar. Ver Byrd y Friedman para más detalles (p. 252 en adelante).

Answer 3

Esta es la respuesta dada por Mathematica: $x=x(t)$ implícitamente está dada por $$ \frac{(n+1) x(t)^2 \left(c_1 n+c_1+2 x(t)^{n+1}\right){}^2 \, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{n+1};1+\frac{1}{n+1};-\frac{2 x(t)^{n+1}}{n c_1+c_1}\right){}^2}{\left(c_1 n+c_1\right) \left(c_1 (n+1)+2 x(t)^{n+1}\right){}^2}=\left(c_2+t\right){}^2. $$ En general, no creo que el $y$ puede ser escrita en términos de primaria o funciones especiales.

Comentario: esto ya fue sugerido por Willie Wong en un comentario. Lo escribí sólo para mejorar la legibilidad. Por otra parte, supongo que un riguroso respuesta (es decir, una prueba de que es imposible encontrar una forma cerrada) es muy difícil construir.