Demostrar que $(x_n)_n $ está acotado

Question

Dejemos que $(x_n)_n, (y_n)_n $ dos secuencias s.t. $x_1,y_1>0$ ; $x_1 <y_1$

$x_{n+1}=x_n (1+\frac {1}{y_n}) $

$y_{n+1}=y_n (1+\frac {1}{x_n}) $

Demuestra que $(x_n)_n $ está acotado.

Me he dado cuenta de que $x_n <y_n $ para cualquier $n\in \mathbb {N} $ .

También, $(y_n)_n $ tiene límite $\infty $ .

Answer 1

Pistas.

Paso 1. Demostrar, inductivamente, que $0<x_n<y_n$ para todos $n\in\mathbb N$ .

Paso 2. Observa que, $$ x_{n+1}=x_n\left(1+\frac{1}{y_n}\right)<x_n\left(1+\frac{1}{x_n}\right)=x_n+1, $$ y por lo tanto $x_n<x_1+n-1$ .

Paso 3. Zapato que $y_n\to \infty$ . Esto se hace de la siguiente manera: $$ y_{n+1}=y_n\left(1+\frac{1}{x_n}\right)>y_n\left(1+\frac{1}{x_1+n-1}\right)=y_1\cdot\frac{x_1+n}{x_1+n-1} $$ y por lo tanto $$ y_n>y_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{x_1+k}{x_1+k-1}=y_1\frac{x_1+n-1}{x_1}=a+bn, $$ donde $b=y_1/x_1>1$ .

Paso 4. Observe que $$ \log x_{n+1}=\log x_n+\log\left(1+\frac{1}{y_n}\right)<\log x_n+\frac{1}{y_n}, $$ y por lo tanto si $\sum\frac{1}{y_n}$ converge, entonces también lo hace $\log x_n$ y también $x_n$ .

Paso 5.

$$ x_{n+1}=x_n\left(1+\frac{1}{y_n}\right)<x_n\left(1+\frac{1}{a+bn}\right)<x_1\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a+bk}\right)\le c(n+d)^{1/b} $$

Paso 6. La repetición del Paso 3, con la estimación del Paso 5 proporciona que $$ y_n>c'(n+d')^{1+1/b}, $$ y por lo tanto $\sum\frac{1}{y_n}<\infty.$