¿Cómo hago "cálculos" con tensores?

Question

Acabo de empezar a leer sobre el tensor de productos y los tensores, y entiendo que un producto tensor $V \otimes W$ es un espacio que se utiliza para reemplazar bilineal mapas de $V \times W \to U$ lineal con mapas de $V \otimes W \to U$. Ahora he tratado de resolver algunos ejercicios simples y me doy cuenta de que no tengo idea de cómo realmente "trabajo" con las tensor de productos/tensores.

Veamos $$u_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}$$ as a basis of $V = \mathbb{R}^3$. Let $G$ be a tensor in $V^* \otimes V^*$, dada por $$G(x,y) = x_1 y_3 + x_2 y_2,$$ where $x = (x_1, x_2, x_3), y = (y_1, y_2, y_3)$ in $\mathbb{R}^3$. Express $G$ in terms of the basis $(u_i^* \otimes u_j^*)$ of $V^* \otimes V^*$.

Buscando en la solución de este ejercicio debe ser muy fácil de resolver, ya que podemos escribir $$G = e_1^* \otimes e_3^* + e_2^* \otimes e_2^*.$$ ¿Por qué escribimos $G$ de esta manera? Tal vez me falta un poco de conocimiento básico de los tensores, porque sin la solución, no tendría idea de cómo acercarse a este ejercicio, e incluso con la solución, no tengo idea de por qué es cierto.

Answer 1

Me parece que si usted ya sabe que su representación en términos de $e_i^\ast\otimes e_j^\ast$, y quieres saber en términos de $u_i^\ast\otimes u_j^\ast$, no es que sea sencillo de aplicar el cambio de las bases?

Todo lo que usted debe necesitar para que es la matriz de cambio de base entre las bases de $E=\{e_1\dots e_n\}$$U=\{u_1\dots u_n\}$, la matriz $A$ que calcula el $Av_E=v_U$ donde $v_E$ " $v$ en términos de $E$" e $v_U$ " $v$ en términos de $U$".

$$ A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

y

$$ Un^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1 \end{pmatrix} $$ El resto debe fluir de las reglas de transformación para los tensores, ¿verdad?