Más información sobre la fórmula integral de Feynman Path en la conferencia de Brian Cox y sus consecuencias

Question

Esta es una continuación de esta pregunta acerca de Brian Cox' conferencia de la Noche con las Estrellas.

Sé que los principales pasos a seguir para obtener de $K(q",q',T)=\sum_{paths}Ae^{iS(q",q',T)/h}$ $\Delta t > \dfrac{m(\Delta x)^2}{h}$como se indica a continuación, pero se puede ampliar? (acabo de leer abajo)

PARTE 1

La función de acción $S(q",q',T)$ está dado por $ S = \displaystyle\int dt\left( \dfrac{1}{2} m v^2 -U\right)$. Para una clásica ruta que va de manera uniforme de un punto a otro, dispone de $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, por lo que usted consigue $S \propto m \left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\Delta t=m\dfrac{(\Delta x)^2}{\Delta t}$. ¿Cuáles son los procesos y los pasos dados para llegar a $S \propto m \left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\Delta t=m\dfrac{(\Delta x)^2}{\Delta t}$? (se explica claramente por favor).

PARTE 2

$S/h$ aparece como una compleja fase de término. Para hacerlo, por pequeño que establezca $S/h < 1$, y podemos entonces deducir que $\Delta t > \dfrac{m(\Delta x)^2}{h}$.

¿Cuáles son los procesos y las medidas adoptadas para luego llegar a $\Delta t > \dfrac{m(\Delta x)^2}{h}$?

Answer 1

Parte 1:

Digamos que la velocidad en la integral es constante en el tiempo, y la integral es de 0 a $\Delta t$. Ahora tenemos un trivial de la integral de una constante. Para (ignorando U)

$$ S = \int_0^{\Delta t} \frac{1}{2}mv^2\ dt\\ =\left[\frac{1}{2}mv^2\right]_{t=0}^{t=\Delta t}\\ =\frac{1}{2}mv^2\Delta t $$

Así, sustituyendo $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, e ignorando cualquier constante que tenemos delante de ellos, excepto para la masa, obtenemos

$$ S \propto mv^2 \Delta t\\ \propto m\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 \Delta t\\ \propto m\frac{\Delta x^2}{\Delta t} $$

Por lo $S \propto m \dfrac{\Delta x^2}{\Delta t}$ como se requiere.

Parte 2:

Tenemos

$$ S \propto m \dfrac{\Delta x^2}{\Delta t} $$, so then, saying the constant of proportionality is $k$, y que es aproximadamente 1 (vamos a querer que esto no sea enorme en un minuto), obtenemos

$$ S = k m \frac{\Delta x^2}{\Delta t} $$

Ahora, la configuración de $S/h < 1$, obtenemos

$$ \frac{S}{h} = k m \frac{\Delta x^2}{h \Delta t} < 1 $$

Establecimiento $k = 1$, ahora podemos decir

$$ m \frac{\Delta x^2}{h \Delta t} < 1 \Rightarrow m \frac{\Delta x^2}{h} < \Delta t $$ como se requiere.