Factoring $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ sin el uso de $\frac{x^n - 1}{x-1}$?

Question

Yo estaba en un equipo de matemáticas se reúnen hoy y uno de los problemas fue el factor de $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$. También le dio la pista de que este se descompone en dos trinomios y un binomio.

La solución que dieron fue basado en el hecho de que $\frac{x^6 - 1}{x-1} = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ y a partir de ahí la solución es bastante sencilla. Sin embargo, yo no era consciente de que la factorización. Los únicos que realmente he aprendido se $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$$x^3 \pm y^3 = (x \pm y)(x^2 \mp xy + y^2)$. ¿Hay alguna otra manera podría haber resuelto este factorización sin utilizar los que se utilizan?

Answer 1

Usted todavía puede este factor. Observe que

\begin{align*} x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 &= x^3(x^2+x+1)+1(x^2+x+1) \\ &=(x^3+1)(x^2+x+1) \\ &=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1). \end{align*}

Ahora usted puede ir un paso más allá y demostrar que tanto $(x^2-x+1)$ $(x^2+x+1)$ son irreducibles en los números reales sólo mediante el análisis discriminante.

Answer 2

He aquí cómo usted podría haber encontrado que la identidad, sin haber conocido antes de la mano.

En primer lugar, observe que la configuración de $x = -1$ da $0$. Por lo tanto, $(x - (-1)) = x+1$ es una raíz.

Utilizando el polinomio de la división larga, nos encontramos con que podemos reducir a $(x^4 + x^2 + 1)(x+1)$

Ahora, ¿qué hacer con el $x^4 + x^2 + 1$ plazo? Recordemos que $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$. Si sustituimos $x = x^2$ en esta identidad, nos encontramos con $x^6 - 1 = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$, lo $x^4 + x^2 + 1 = \frac{x^6 - 1}{x^2 - 1}$.

Ahora hemos reducido a $\frac{(x^6 - 1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ = $\frac{x^6 - 1}{x-1}$ y, como usted dijo, el resto es fácil desde aquí, por medio de las identidades que figuran en el OP.

Answer 3

Usted debe ser(venir) cuenta: $\frac{x^n-1}{x-1} = \sum_{k=0}^{n-1} x^k$

Es bastante útil.

$$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \\ = \frac{x^6-1}{x-1} \\ = \frac{(x^3-1)(x^3+1)}{x-1} \\ = (x^2+x+1)(x^3+1) \\ = (x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$$

La única otra manera sería adivinar -1 como una raíz, porque tiene seis términos en orden ascendente polinomio de la secuencia.

$$ x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = (x+1)(x^4+x^2+1)$$

Luego se divide el resultado tetranomial, por resolver: $$\exists a, b : x^4 + x^2 + 1 = (x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \\ (x^2+a x + 1)(x^2+b x +1) = x^4 + (a+b) x^3 + (2+ab) x^2 + (a+b)x + 1 \\ \therefore a+b=0 \land ab=-1 \\ \therefore a = \pm 1, b=\mp 1 $$

Y así: $$ x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = (x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$