$f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:R\rightarrow R$ que satisfacen $f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y)$ $\forall x,y \in R$ .

Sospecho fuertemente que $0$ y $x^2+C$ para ser las únicas soluciones pero, como ocurre casi siempre con las ecuaciones funcionales, encontrar el conjunto de soluciones es fácil; lo difícil es demostrar que un determinado conjunto de soluciones representa TODAS las soluciones.

Es trivial que si $f$ está acotado $f\equiv0$ .

Answer 1

Ok, finalmente lo conseguí: la ecuación $f(x + f(y)) = f(x - f(y)) + 4xf(y)$ puede reescribirse como $$f(x + f(y)) - f(x - f(y)) = (x + f(y))^2 - (x - f(y))^2$$ Sustitución de $x$ por $x + f(y)$ y reordenando los términos obtenemos $$f(x + 2f(y)) - (x + 2f(y))^2 = f(x) - x^2$$ Así, $f(x) - x^2$ tiene periodo $2f(y)$ para todos $y$ . En particular, tiene periodo $2f(a + f(b))$ así como $2f(a - f(b))$ para todos $a$ y $b$ . Como la diferencia de dos períodos es un período, también tiene período $2f(a + f(b)) - 2f(a - f(b))$ para cualquier $a$ y $b$ que es $8af(b)$ por las condiciones dadas. Suponiendo que $f(x)$ no es la función cero, podemos elegir $b$ para que $f(b)$ no es cero. Como $a$ puede ser cualquier cosa, concluimos $f(x) - x^2$ tiene cada número real como período; en otras palabras, es constante. Por lo tanto, si $f(x)$ no es la función cero, entonces $f(x) = x^2 + C$ para alguna constante $C$ .