La cosa es que, en la práctica común dentro de la teoría de conjuntos, podemos utilizar los parámetros en nuestras descripciones, así que en realidad cualquier conjunto puede ser determinado de forma intencionada, aunque no necesariamente de una manera interesante: $a=\{x\mid x\in a\}$. Esto no es tan inútil como parece a primera vista. Por ejemplo, cada conjunto de Goedel del universo construible $L$ es definible utilizando como parámetros de "simple", y esta es una característica importante de $L$ que nos permite analizar en detalle, siendo responsable en última instancia por el hecho de que $L$ satisface el axioma de elección.
Como ya se señaló, si sólo utilizamos el parámetro libre de fórmulas, entonces sólo podemos describir intencionalmente countably muchos conjuntos.
Como para extensional descripciones, por la más estricta de las interpretaciones, sólo contable de conjuntos se pueden describir de esta manera y, realmente, necesitamos algunos explícita de la forma de hablar de sus elementos. Por supuesto, en la práctica, se suele escribir cosas como $A=\{a_0,a_1,\dots\}$ y yo diría que esto es como extensional como se pone, aunque, por supuesto, se trata de una definición intencional $A=\{a_i\mid i\in{\mathbb N}\}$ en disfraz, y aun esto sólo tiene sentido si tenemos una función de $i\mapsto a_i$ a empezar.
Por supuesto, usualmente escribimos conjuntos, mediante su inclusión como $A$ por encima, incluso si los juegos no son contables, considerando bien ordenamientos, es decir, escribimos sus elementos como una larga secuencia (indexado por algunos no necesariamente contables ordinal). En virtud de elección, cualquier conjunto puede ser enumerados de esa manera.
Creo que esta idea de "extensional" y "intencional" (o "comprensión") definiciones de conjuntos es un poco de una consecuencia no deseada de la "nueva matemática" idea de la enseñanza de la teoría de conjuntos en las escuelas. Así, en lugar de hablar sobre el axioma de extensionality, que establece son completamente determinado por sus elementos, de alguna manera terminamos de escribir los conjuntos de sus extensiones (es decir, por la enumeración de sus elementos), y en lugar de hablar sobre el axioma esquema de comprensión, nos terminó de escribir los conjuntos por comprensión. Muy extraño. (Yo (todavía) recuerde siendo de 9 o así, y mi profesor me pide que escriba el conjunto vacío intencionalmente. No me acuerdo de mi profesor de explicar cómo hacer esto. Que era muy confuso para mí. Supongo que a esa edad, la escritura $\phi$ fue similar a decir que el $\phi$ tuvo que mantener, así que la idea de la escritura de una propiedad $\phi(x)$ que falla por todos los $x$ era completamente ajeno.)
