Probar el siguiente espacio métrico es completa

Question

He estado luchando con este tema muchas horas. Incluso la lectura el profesor de la prueba de contorno, y la comprensión de partes de ella, estoy luchando por completo la reproducción de la prueba por mi cuenta (juego de palabras no deseadas). Su contorno está en un idioma diferente, así que estoy traduciendo y llenar todos los detalles técnicos. Mi objetivo en este intercambio es la prueba de verificación.

Conjunto $X= \lbrace (a_n)_{n=1}^{\infty} \mid \forall n \in \mathbb{N} :a_n \in \mathbb{R} \rbrace $, el conjunto de todos infinito real de las secuencias.

Definir una métrica $D$$X$:

$D((a_n)_{n=1}^{\infty},(b_n)_{n=1}^{\infty}) := \underset{n}{\sup} \lbrace\bar d(a_n,b_n)/n\rbrace$

Donde $\bar d(a,b):=\min \lbrace |a-b|,1\rbrace $, para cualquier $a,b \in\mathbb{R}$.

Demostrar que $(X,D)$ es un espacio métrico completo.

Sé que necesito mostrar que cada secuencia de Cauchy en $(X,D)$ converge en $(X,D)$.

Así, dada una secuencia de Cauchy, $\bar x_n = \lbrace x_n^i \rbrace _{i=1} ^\infty$, I imagine setting up an infinite square matrix, where the $n^{th}$ column is the $n^{th}$ sequence in $\bar x_n$ and the $i^{th}$ row is a sequence of all the $i^{th}$ elementos en cada secuencia.

1. En primer lugar, quiero mostrar que cada fila de la secuencia de $\lbrace x_n^i \rbrace _{n=1}^\infty $, es de Cauchy. No estoy seguro si lo hice correctamente.

Deje $i \in \mathbb{N}$ ser arbitraria. Desde $\bar x_n$ es de Cauchy, para cada $\epsilon > 0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $m>n>N$:

$D(\bar x_n,\bar x_m)= \underset{i}{\sup} \lbrace\bar d(x_n^i , x_m^i)/i\rbrace = \underset{i}{\sup} \lbrace \min(|x_n^i-x_n^i|,1)/i\rbrace<\epsilon /i$.
De ello se desprende que $\forall m>n>N: |x^i_n - x^i_m|/i<\epsilon /i$.
$\implies |x^i_n - x^i_m|<\epsilon$, lo que demuestra que el $\lbrace x_n^i \rbrace _{n=1}^\infty $, es de Cauchy en $\mathbb{R}$.
Desde $(\mathbb{R},|\cdot|)$ es completa, $\forall i \in \mathbb{N}, \lbrace x_n^i \rbrace _{n=1}^\infty \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} L_i < \infty$.

$ $

2. A continuación, defina $L= \lbrace L_i \rbrace _{i=1}^\infty$. Mostrando que $ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim {\bar x_n}=L}$ completa la prueba.

Deje $\epsilon >0$ ser arbitraria. Set $K > \epsilon^{-1}.$ Desde $\forall i \in \mathbb{N} : \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n^i=L_i $ existe $N$ tal que $\forall n>N$:

$\forall 1\leq i \leq K : |x_n^i-L_i| < i \epsilon \implies |x_n^i-L_i|/ i < \epsilon \implies \underset{ 1\leq i \leq K}{\sup} \lbrace \bar d(x_n^i , L_i)/i\rbrace < \epsilon$
$\forall i > K : i > \epsilon^{-1} \implica 1/i < \epsilon \implica \underset{i>K}{\sup} \lbrace \bar d(x_n^i , L_i)/i\rbrace < \epsilon$

Finalmente, lo que implica $D(\lbrace x_n^i \rbrace _{i=1}^\infty, \lbrace L_i \rbrace _{i=1}^\infty) < \epsilon \implies D(\bar x_n, L) < \epsilon$

Q. E. D
Wow, esto tomó un tiempo muy largo para escribir. CUALQUIER comentario se agradece.

Answer 1

He aquí un resumen:

1. Deje $\bigl(x(n)\bigr)_{n\in\mathbb N}$ ser una secuencia de Cauchy de elementos de su espacio. En particular, para cada $n\in\mathbb N$, $x(n)$ es una secuencia $\bigl(x(n)_k\bigr)_{k\in\mathbb N}$ de los números reales.
2. Para cada una de las $k\in\mathbb N$, demostrar que la secuencia de $\bigl(x(n)_k\bigr)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy de números reales. Deje $x_k$ ser su límite.
3. Demostrar que $\lim_{n\to\infty}x(n)=(x_k)_{k\in\mathbb N}$.