Definición de $\mathbb{A}^n_S$ pegado

Question

En Eisenbud y Haris (Geometría de los esquemas I. 2.4), si $S=\cup_\alpha U_\alpha$ $U_\alpha$ afines, para definir $\mathbb{A}^n_S$ una $X=\cup_\alpha \mathbb{A}^n_{U_\alpha}$$\mathbb{A}^n_{U_\alpha}=\operatorname{Spec} R_\alpha[X_1,\ldots,X_n]$.

Entonces la idea es pegamento a lo largo de la $U_\alpha\cap U_\beta$ pero $U_\alpha\cap U_\beta$ no es afín a lo $\mathbb{A}^n_{U_\alpha\cap U_\beta}$ no tiene ningún significado e incluso si $U_\alpha\cap U_\beta$ es afín, la inducida por morfismos $\varphi_{\alpha,\beta}:\mathbb{A}^n_{U_\alpha \cap U_\beta}\to\mathbb{A}^n_{U_\alpha}$ no es una inmersión en lo $X_{\alpha,\beta}:=\varphi_{\alpha,\beta}(\mathbb{A}^n_{U_\alpha \cap U_\beta})\not\simeq\mathbb{A}^n_{U_\alpha \cap U_\beta}$$X_{\alpha,\beta}\not\simeq X_{\beta,\alpha}$.

Así que la pregunta es: cómo pegar el $\mathbb{A}^n_{U_\alpha \cap U_\beta}$ construir $\mathbb{A}^n_S$?

Edit: para $U_\gamma\subseteq U_\alpha$ afín a tomar la notación $\psi_{\alpha,\gamma}$ el inducido de morfismos $\mathbb{A}^n_{U_\gamma}\to\mathbb{A}^n_{U_\alpha}$. Tengo la idea de tomar $X_{\alpha,\beta}=\cup_\gamma X_{\alpha,\gamma}$ donde $X_{\alpha,\gamma}=\psi_{\alpha,\gamma}(\mathbb{A}^n_{U_\gamma})$ e las $\gamma$, de modo que $U_\gamma\subseteq U_\alpha\cap U_\beta$ afines. Entonces, si (1) el $\psi_{\alpha,\gamma}$ están abiertos de inmersión para todos los $\gamma$ ha $X_{\alpha,\gamma}\simeq X_{\beta,\gamma}$. Pero no la puedo ver (2) cómo a la conclusión de que la $X_{\alpha,\beta}\simeq X_{\beta,\alpha}$ porque $X_{\alpha,\gamma}$ es sólo una cubierta de $X_{\alpha,\beta}$ y no una topología base y así no es suficiente (¿no?).

Para el punto (1) veo que si $(U_\alpha)_f\subseteq U_\alpha$ $\mathbb{A}^n_{(U_\alpha)_f}\to \mathbb{A}^n_{U_\alpha}$ es una inmersión. Pero no es suficiente debido a que $(U_\alpha)_f$ no tiene razón de ser una $(U_\beta)_g$.

Así que las preguntas son

1) ¿por qué el $\psi_{\alpha,\gamma}$ están abiertos de inmersión?

2) ¿cómo a la conclusión de que la $X_{\alpha,\beta}\simeq X_{\beta,\alpha}$?

Answer 1

... y 3): Cómo comprobar la cocycle condición?

Aquí es cómo hacer todo esto sin dolor: el Uso de la functorial punto de vista sobre los esquemas.

Considerar el functor $(\mathrm{Sch}/S)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ definido por $T \mapsto \Gamma(T,\mathcal{O}_T)^n$ (olvidando la estructura de anillo en el global de las secciones). Nos dicen que es representable y la representación de objeto va a ser nuestra$S$ -$\mathbb{A}^n_S$; esta es la definición conceptual y caracterización de $\mathbb{A}^n_S$. No hay un criterio general cuando un functor es representable, ver EGA I (1971), Cap. 0, Corollaire 4.5.5:

El functor tiene que ser una gavilla cuando restringida a los subconjuntos abiertos de cualquier fija $S$-y el régimen de functor tiene que ser localmente puede representarse en el sentido de que existe un abierto que cubre $S = \bigcup_i S_i$ de manera tal que cada restringido functor en $(\mathrm{Sch}/S_i)^{\mathrm{op}}$ es representable. La gavilla condición es trivial. Para el local de la representabilidad, tomar cualquier afín cubriendo $S = \bigcup_i S_i$ y observar que cada restringido functor es representado por el ya conocido espacio afín $\mathbb{A}^n_{S_i}$ más afín a la base de $S_i$.

El mencionado criterio es muy útil también para otras construcciones, por ejemplo, los productos de fibra, la Especificación de las cuasi-coherente álgebras, Proj diferenciales cuasi coherente álgebras. Para más información sobre esto, usted puede leer Brian Osserman "de los productos de Fibra y Zariski gavillas", en pdf. Por cierto, si usted ya conoce los productos de fibra, así podría construir $\mathbb{A}^n_S$$\mathbb{A}^n_{\mathbb{Z}} \times_{\mathbb{Z}} S$.

Alternativamente, para cada localmente anillado espacio de $S$, se puede construir una localmente anillado espacio de $\mathbb{A}^n_S$ $S$ explícitamente, lo que representa el functor $\mathsf{LRS}/S \to \mathsf{Set}$, $T \mapsto \Gamma(T,\mathcal{O}_T)^n$. El conjunto subyacente es el conjunto de pares $(s,\mathfrak{p})$ donde $s$ es un punto en $S$ $\mathfrak{p}$ es un alojamiento ideal en $\mathcal{O}_{S,s}[T_1,\dotsc,T_n]$. Si $U \subseteq S$ es abierto y $f \in \mathcal{O}_S(U)[T_1,\dotsc,T_n]$, entonces consideramos el subconjunto de los $(s,\mathfrak{p})$ que $s \in U$ $f_{s} \in \mathcal{O}_{S,s}[T_1,\dotsc,T_n]$ (tomamos los tallos para cada coeficiente) no está contenido en $\mathfrak{p}$. Estos conjuntos constituyen la base para una topología. La estructura de la gavilla se define de tal manera que el tallo en$(s,\mathfrak{p})$$\mathcal{O}_{S,s}[T_1,\dotsc,T_n]_\mathfrak{p}$. La definición completa es un poco complicado, pero compuestas por perfiles de las familias de los tallos, que localmente provienen de una fracción en la $\mathcal{O}_S(U)[T_1,\dotsc,T_n]_f$. Más en general, para todos los $\mathcal{O}_S$-álgebra $A$ podemos explícitamente la construcción de la (relativa) del espectro de $\mathrm{Spec}_S(A)$; por encima de ser el caso especial $A=\mathcal{O}_S[T_1,\dotsc,T_n]$.