UFD iff de la ACCP y irreducibles son los principales

Question

Mostrar que la integral de dominio $A$ es una única factorización de dominio si y sólo si cada ascendente de la cadena de los principales ideales se termina, y cada elemento irreductible de $A$ es primo.

Answer 1

Sugerencia: Para mostrar el "si" de la parte, se observa que la si $a\in A$ no es irreducible, entonces $(a)\subset (b)$ algunos $b\in A$, y continuar de esta manera obtener un ascendente de la cadena de principio ideales. ¿Ves cómo esto le da una factorización de $a$ en elementos irreductibles (suponiendo que la cadena termina)? Mostrando la singularidad luego es bastante fácil. Supongamos $a_1\cdots a_n=b_1\cdots b_m$ donde $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m$ son primos. A continuación, cada una de las $a_i$ divide una de las $b_j$, pero estos son fundamentales para que los dos deben ser iguales. Para el "si" de una parte, tenga en cuenta que cada irreducible es primo y factorización de un elemento $a$ en números primos les da a todos el principio de los ideales que contienen a $(a)$, de los cuales hay sólo un número finito.