Prueba de comprobación : Mostrar que $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)= \{0\}. $

Question

¿Alguien puede revisar mi prueba, por favor? Gracias.

Mostrar que $$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)= \{0\}.$$

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Vamos a tomar un arbitrario $x \in \textbf{R}$ tal que $|x|\leq 1/n$ todos los $n$$\textbf{N}$.
A continuación, $$ -\frac{1}{n}\leq x\leq\frac{1}{n}.$$ Ahora podemos decir que $$x \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) .$$ Vamos a mostrar ahora que $x=0$.
Tenemos: $$ -\frac{1}{n}\leq x \leq\frac{1}{n}.$$
Ahora vamos a tomar el límite de $n\to\infty$: $$\lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n} \leq x \leq \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}.$$

$$0\leq x \leq0.$$

Por el BigMac teorema, llegamos a la conclusión de que $x=0$.

Answer 1

$0 \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ todos los $n$, y por lo $0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$

Supongamos por contradicción que existe cierta $x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$, de modo que $x \neq 0$. Wlog, supongamos $x>0$. El uso de la propiedad de arquímedes para mostrar que no existe $N \in \mathbb{N}$, de modo que $\frac{1}{N}<x$. A continuación, mostrar que para $n>N$, tenemos una contradicción.

Hay un pequeño error en la prueba, como se ha señalado en la sección de comentarios. Además, cuando usted dice que $|x|<\frac{1}{n}$ todos los $n$, ¿cómo se justifica esto? Realmente, están dejando $x=0$, de todos modos, ¿por qué no comenzar la prueba mostrando la intersección a ser no vacío?

Answer 2

Ahora vamos a tomar el límite $n\to\infty$:$$lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}<x< lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}.$$

Esta parte es incorrecta y debe ser $$ \lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\leq x\leq \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}$$ lo que implica que $$ 0\leq x\leq 0 $$ y por lo tanto $x=0$.

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También, tenga en cuenta que$0<x<0$$0<x$$x<0$, que es una falsa declaración de lo $x$ es. Sólo he visto "Big Mac Teorema" antes que como una declaración más fuerte de lo que se denomina "Hamburguesa del Teorema".