Un mínimo de $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y+z}$ para $0\leq x+y,y+z,z+x\leq 1$

Question

Dejemos que $0\leq x,y,z,x+y,y+z,z+x\leq 1$ . ¿Cuál es el mínimo de $$F(x,y,z)=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y+z}?$$

Tenemos $F(1/2,1/2,1/2)=4/3$ . Dado que las restricciones están en $x+y,y+z,z+x$ en lugar de $x,y,z$ tomando la derivada parcial con respecto a $x,y,z$ no ayuda mucho. No podemos cambiar una variable sin afectar a las demás.

Answer 1

Sugerencia: Haga la sustitución $a= x+y, b = y + z, c = z + x$ y tenemos $0 \leq a, b, c, \leq 1$ y queremos minimizar

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{2}{a+b+c}.$$