Hace una infinita colección de círculos que se acumula en un círculo?

Question

Hay una infinita colección de círculos cerrados en el avión, todo dentro de un número finito de delimitación de la plaza. Qué contiene una secuencia infinita de los círculos en los que convergen a un círculo?

Supongamos que un punto es un círculo de radio de 0, y que la convergencia se define por diferencia simétrica (es decir, el área de la diferencia simétrica entre la secuencia y el límite sigue a 0).

Pensé en la siguiente prueba:

• Representan cada uno de los círculos como un triple $(x,y,r)$.
• Ya que la colección es limitada, la $x$, $y$ y $r$ de los valores de todos los círculos son acotados.
• Por lo tanto, no es una secuencia infinita de triples $(x_i,y_i,r_i)$, que converge a un triple $(x_L,y_L,r_L)$.
• El límite de triple representa un círculo, y la diferencia simétrica entre los círculos de la secuencia y el límite del círculo se va a 0.

Mis preguntas son:

1. Es esto una prueba de la correcta?
2. Hay otra prueba, que utiliza puramente geométrica consideraciones (es decir, no transformar los círculos a los triples de números)?

Answer 1

La prueba es correcta y en mi opinión es la forma más sencilla de demostrar este hecho.

Un mayor acercamiento geométrica está dada por Hausdorff-Kuratowski convergencia. El teorema de compacidad para dicha convergencia, dice, en particular, que cualquier secuencia de conjuntos compactos (es decir, tus círculos) que están contenidos en el mismo compacto de conjuntos (la delimitación de la plaza) convergen, hasta una larga, para algunos compacto.