Cómo evaluar $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(\frac{\ln(4^x-3^x)-\ln(4^x-1)}{x}\right)(4^x-1)$?

Question

Cómo evaluar $$L:=\lim_{x\to0^+}\left(\frac{\ln(4^x-3^x)-\ln(4^x-1)}{x}\right)(4^x-1)$$ ?

Mi solución: $$\begin{align} L&=\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left(\frac{4^x-3^x}{4^x-1}\right)}{x}(4^x-1)=\\ &=\lim_{x \to 0^+} \frac{ \ln\left(1-\frac{3^x-1}{4^x-1}\right)}{\frac{3^x-1}{4^x-1}}\times \frac{3^x-1}{4^x-1}\times \frac{4^x-1}{x} \end{align}$$

Cómo continuar a partir de aquí?

Answer 1

$$\begin{align}L&=\lim_{x \to 0^+} \ln\left(1 - \frac{3^x-1}{4^x-1}\right)\times\frac{4^x-1}{x}=\\ &=\lim_{x \to 0^+} \ln\left(1 - \frac{3^x-1}{4^x-1}\right)\times\lim_{x \to 0^+}\frac{4^x-1}{x}=\\ &=\ln 4 \cdot \lim_{x \to 0^+} \ln\left(1 - \frac{3^x-1}{4^x-1}\right)=\\ &=\ln 4 \cdot \ln \left( \lim_{x \to 0^+}\left[1 - \frac{3^x-1}{4^x-1}\right]\right )=\tag{%#%#%}\\ &=\ln 4 \cdot \ln \left(1 - \frac{\ln 3}{\ln 4} \right )\approx-2.17999444 \end{align}$$

En $\star$ hemos utilizado el hecho de que el logaritmo es continua en a $(\star)$, de modo que podamos evaluar el límite interior y, a continuación, sustituya (hay un teorema acerca de eso, si usted es curioso).

Aquí está el gráfico de la función cerca de $1 - \frac{\ln 3}{\ln 4}$: