Esfera de Riemann y mapas

Question

¿Podría alguien aclararme lo siguiente?

No tengo muy clara la relación entre la esfera de Riemann y los mapas de Möbius. Sé que podemos, mediante una proyección, hacer que algunos mapas de Möbius se correspondan con isometrías de la esfera. Pero no es una biyección ¿verdad? ¿Qué mapas tienen isometrías correspondientes y cuáles no, y viceversa?

Gracias

Answer 1

Es fácil ver que todos los mapas de Möbius no pueden ser isometrías : si $M$ es un mapa de Möbius isométrico, entonces $\lambda M$ , $\lambda \neq 1$ también es Möbius pero ciertamente no puede ser isométrico.

Además, la involución $z \mapsto \overline{z}$ es una isometría de la esfera de Riemann, pero no es Möbius.

En realidad, el grupo de simetría de la esfera es $SO_3(\mathbb{R})$ y el grupo de la transformación de Möbius es $PSL_2(\mathbb{C})$ .

Como ha señalado Chris, el verdadero interés de los mapas de Möbius es que se trata precisamente de biholomorfismos de la esfera de Riemann.

Answer 2

Mapas de Möbius $(az+b)/(cz+d)$ con $ad-bc\ne 0$ son 1-1 en mapas de la esfera de Riemann. Hay que añadir el infinito al plano para obtener una afirmación tan simple.

Answer 3

Creo que el principal punto geométrico es que hay una diferencia entre mapas conformados (que conservan los ángulos entre vectores tangentes) y isometrías (que también preservan todas las nociones de distancia -- y en particular, las normas de los vectores tangentes).

Como se ha dicho, el grupo de Möbius te dice cuáles son los automorfismos holomorfos (complejos) de la esfera, $S^2 = \mathbb{C} P^1$ . Pero en una dimensión compleja (es decir, para las superficies de Riemann) se puede pensar en transformaciones conformes que preservan la orientación (es decir, que preservan el ángulo) como la lo mismo como transformaciones complejas.

Así que la única diferencia entre las transformaciones de Möbius y las isometrías es, en realidad, que (1) la primera tiene que preservar la orientación, y (2) la primera no necesita preservar las distancias, sólo los ángulos. Esto explica por qué, por ejemplo, la escala es una transformación de Möbius, pero no es una isometría.