Mostrando que $E(X\log X)\le 1$

Question

Deje $\{X_n\}, X\in L^1(\Omega, \mathcal{F},P)$ que satisfacen las siguientes propiedades:

(i) Para todo $n$, $X_n\ge 0, \ E(X_n)=1$ y $E(X_n\log X_n)\le 1$.

(ii) Para cualquier delimitada variable aleatoria $Y$, $E(X_n Y)\to E(XY)$ como $n\to\infty$

Mostrar que $X\ge 0$ con una probabilidad de $1$$E(X\log X)\le 1$.

Nota: he podido demostrar que $X\ge 0$ con una probabilidad de $1$. También, a partir de la no-negatividad de $X_n$$X$, sabemos que $X_n$ $L^1 -$ delimitada, de ahí que estén bien apretados. ¿Esto ayuda a demostrar que $E(X \log X)\le 1$?

Answer 1

Aquí se me ocurrió una solución, con la esperanza de que es correcta. Vamos a demostrar el resultado en los siguientes pasos:

Paso 1:

Para cualquiera de las variables aleatorias $X,Y\ge 0$$E(Y)\le E(X)$,$E(X \log X)\ge E(X\log Y)$.

Prueba:

Usando la desigualdad de $\log x\le x-1$ y poner $x=\frac{Y}{X}$, obtenemos : $X(\log Y-\log X)\le Y-X\implies E(X\log Y- X\log X)\le E(Y)-E(X)\le 0$. Por lo tanto la prueba de la siguiente manera.

Paso 2 :

Definir $Y_n=1$ si $X\in [\frac{1}{n},n]^c$ $Y_n=X$ si $X\in [\frac{1}{n},n]$. Claramente, $\log Y_n$ es un almacén de variable aleatoria. Ahora, $E(Y_n)=E(X\mathbb{I}\{X\in [\frac{1}{n},n]\})+P(X<\frac{1}{n})+P(X>n)$. Ya, $E(X\log X)$ existe $P(X=0)=0$. Por lo tanto, $E(Y_n)\to 1$$n\to\infty$. Arreglar cualquier $\alpha>1$. Entonces, existe $N$ tal que para todo $n\ge N$, $E(Y_n)<\alpha$. Ahora, con el paso 1, ya que $E(\alpha X_m)=\alpha$ todos los $m\ge 1$, podemos escribir:

$$E((\alpha X_m)\log (\alpha X_m))\ge E(\alpha X_m\log Y_n) \ \ \forall m\ge 1, n>N \\ \implica \alpha\log \alpha E(X_m)+\alpha E(X_m\log X_m)\ge \alpha E(X_m\log Y_n) \ \ \forall m\ge 1, n>N \\ \implica \alpha\log\alpha+\alpha\ge\alpha E(X_m\log Y_n) \ \ \forall m\ge 1, n>N.$$ Now, using boundedness of $Y_n$, letting $m\to\infty$, we get that $$\alpha\log\alpha+\alpha\ge\alpha E(X\log Y_n)=\alpha E(X\log X\ \mathbb{I}\{X\in [1/n,n]\}) \ \ \forall n>N.$$ Now, letting $n\to\infty$, obtenemos $$\alpha\log\alpha+\alpha\ge\alpha E(X\log X).$$ Since $\alfa>1$ is arbitrary, letting $\alpha\downarrow 1$, we finally get $E(X\log X)\le 1$.