Isomorfismo de anillo de coordenadas de cuádrica lisa y otro subringulo de un anillo de polinomios.

Question

Estoy viendo el ejercicio 1.8(c) en Apuntes de geometría algebraica de David Cox que va:

Dejemos que $V=\mathbf{V}(xy-zw) \subset \mathbb{C}^4$ . Demostrar que $\mathbb{C}[V]\cong\mathbb{C}[ab,cd,ac,bd]\subset \mathbb{C}[a,b,c,d]$ .

Sé que $\mathbb{C}[V]=\mathbb{C}[x,y,z,w]/\langle xy-zw \rangle$ y que este isomorfismo de $\mathbb{C}$ -pueden establecerse mediante un isomorfismo de variedades. La pista es mostrar que V puede ser "parametrizado surjectivamente" por $(a,b,c,d) \mapsto (ab,cd,ac,bd)$ pero todavía no veo a dónde va esto exactamente...

Más directamente podemos ver que tenemos un mapa suryectivo $\mathbb{C}[x,y,z,w] \to \mathbb{C}[ab,cd,ac,bd]$ que sólo coincide con los respectivos monomios. Presumiblemente podría demostrar el isomorfismo mostrando que el núcleo es exactamente $\langle xy-zw\rangle$ . Este ideal está claramente contenido en el núcleo, pero ¿cómo puedo demostrar la contención inversa?

Se agradecen las sugerencias para cualquiera de los dos enfoques, gracias de antemano.

Answer 1

Se puede demostrar fácilmente que $V(xy - z w)$ es la imagen del mapa $$\mathbb{C}^4 \ni (a,b,c,d) \overset{\phi}{\mapsto} (ab, cd, ac, bd)=(x,y,z,w) \in \mathbb{C}^4$$

Esto funciona para todos los campos. Básicamente dice: cada $2\times 2$ matriz de rango $\le 1$ es de la forma $$\left( \begin{matrix} x & z\\ w & y \end{matrix} \right ) = \left( \begin{matrix} a \\ d\end{matrix}\right )\cdot (b,c) $$

Dejemos que $f$ un mapa polinómico en $V$ . Entonces $f\circ \phi$ es un mapa polinómico sobre $\mathbb{C}^4$ . Ahora, los mapas polinómicos en $V$ son restricciones de mapas polinómicos $P$ en $\mathbb{C}^4$ . Obtenemos un mapa $$P(x,y,z,t) \mapsto P(ab,cd,ac,bd)$$ Este apriori es un mapa de polinomios $P$ a funciones polinómicas en $\mathbb{C}^4$ pero se puede identificar con el polinomio $P(ab,cd,ac,bd)$ ya que $\mathbb{C}$ es infinito.

Ahora, no necesitamos saber cuál es el ideal de $V$ es, aunque es fácil demostrar que es $(xy-zw)$ ( de nuevo, utiliza que el campo es infinito).

$\bf{Added:}$ ¿Qué está pasando realmente? Podríamos considerar esto sobre cualquier campo $k$ . Pero entonces deberíamos seguir trabajando en una extensión infinita de $k$ .

Esta es la cuestión: Para probar si para un polinomio $P$ el polipomio $P(ab, cd, ad, bc)$ es el $0$ polinomio, equivale a probar si $P(ab, cd, ad, bc)$ es $0$ cuando sustituimos cualquier valor por $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Eso funciona si tenemos un campo infinito $k$ o, tomamos valores de una extensión infinita de $k$ .

También: el ideal de $V$ es $xy - z w$ , siempre que el campo $k$ es infinito. Por lo tanto, vemos la necesidad de trabajar en un campo infinito. Pero al final, lo siguiente es cierto, no importa el campo $k$ es: El ideal de polinomios $P(x,y,z,w)$ para que el polinomio $P(ab, cd, ad, bd)$ es el polinomio cero es el ideal principal $(xy- zw)$ . Así que $k[ab,cd,ad,bc]\subset k[a,b,c,d]$ es isomorfo a $k[x,y,z,w]/(xy-zw)$ .

Answer 2

Considere el mapeo $\mathbb{C}[x,y,z,w] \to \mathbb{C}[a,b,c,d]$ enviando $x \mapsto ab$ , $y \mapsto cd$ , $z \mapsto ac$ , $w \mapsto bd$ . Sea $I$ sea el núcleo. Como has señalado, $xy-zw \in I$ . Para demostrar que $I = \langle xy-zw \rangle$ , dejemos que $p = p(x,y,z,w) \in I$ . Nuestro objetivo es mostrar $p \in \langle xy-zw \rangle$ . Modificaremos $p$ por elementos de $\langle xy-zw \rangle$ hasta que reduzcamos $p$ a un elemento de $\langle xy-zw \rangle$ ; así conseguiremos nuestro objetivo.

Las modificaciones son sencillas: cada $xy$ en $p$ se sustituye por $zw$ . Entonces, modulo $\langle xy-zw \rangle$ , $p$ es congruente con algún $q(x,z,w) + r(y,z,w)$ . En particular $q+r \in I$ . Tenemos $q(ab,ac,bd)+r(cd,ac,bd)=0$ para todos $a,b,c,d$ . Desde $\mathbb{C}$ es un campo infinito, $q+r=0$ idénticamente, es decir, todos los coeficientes desaparecen en la suma. Sea $i$ sea el más alto $xz$ -grado de cualquier término en $q$ , o lo que es lo mismo, el más alto $a$ -grado de cualquier término de $q(ab,ac,bd)$ . Para cancelar, $r$ debe tener términos con $z$ -grado $i$ . Entonces el $yz$ -grado de $r$ es al menos $i$ Así pues, el $c$ -grado de $r(cd,ac,bd)$ es al menos $i$ . Pero entonces, para anular este poder de $c$ El $z$ -grado de $q$ también es al menos $i$ . Los términos de ambos $q$ y $r$ que tienen $z^i$ no puede tener ningún $x$ o $y$ , sólo $w$ . Pero entonces deben coincidir término por término, y podemos cancelarlas y seguir reduciendo, para finalmente reducir a $q=r=0$ .