$S^0$ es el interior de un conjunto $S$.
Deje $x\in S^0$ ser dado. Queremos encontrar a $\delta>0$ tal que $(x-\delta,x+\delta)\subset S^0$.
$S^0$ es el interior de $S$,$S^0\subset S$, $x\in S$ $\exists \delta_1>0$ tal que $(x-\delta_1,x+\delta_1)\subset S$.
Podemos decir elija $\delta<\delta_1$ tal que $(x-\delta,x+\delta)\subset(x-\delta_1,x+\delta_1)$, a continuación,$(x-\delta,x+\delta)\subset S^0$, por lo tanto, el interior de $S$ está abierto?
¿Tiene sentido? Por favor me guía.
Que hace perfecto sentido, pero puedo ver que usted podría ser un poco confundido a ti mismo. Voy a tratar de explicar su propio razonamiento!
Para $x$ a ser en el interior de $X$, se necesita demostrar la existencia de una $\delta$ tal que $(x-\delta,x+\delta)\subseteq X$. Un conjunto es abierto si es su propio interior, y usted está tratando de mostrar que el interior de cualquier conjunto está siempre abierta.
Así, lo que han hecho es mostrar que cada elemento de a $S^{\circ}$ es un elemento de $\left(S^{\circ}\right)^{\circ}$. Usted ha tomado un elemento arbitrario $x\in S^{\circ}$. Ya que es en $S^{\circ}$, usted sabe que hay un $\delta$ tal que $(x-\delta,x+\delta)\subseteq S$. Hasta ahora tan bueno. Pero lo que tenemos que hacer es mostrar que $x\in \left(S^{\circ}\right)^{\circ}$. Usted tiene el derecho de elementos para este, pero no estoy seguro de que usted sabe muy bien cómo poner juntos.
Usted ha hecho lo correcto al tomar $\delta_{1}\leq \delta$. Por simplicidad, vamos a establecer $\delta_{1}=\delta/{2}$. Entonces será suficiente para mostrar que el $(x-\delta_{1},x+\delta_{1})\subseteq S^{\circ}$. Por lo tanto, tomar una arbitraria $y\in (x-\delta_{1},x+\delta_{1})$. De ello se sigue que $$(y-\delta_{1},y+\delta_{1}) \subseteq (x-2\delta_{1},x+2\delta_{1}) = (x-\delta,x+\delta) \subseteq S.$$ Pero esto es suficiente para demostrar que $y\in S^{\circ}$. Por lo tanto, existe un intervalo abierto alrededor de $x$, que está contenida en $S^{\circ}$, y por lo $x\in\left(S^{\circ}\right)^{\circ}$. Desde $x$ es un elemento arbitrario de $S$, obtenemos $$S^{\circ}=\left(S^{\circ}\right)^{\circ}.$$
El tratamiento de abrir el intervalo (x - s, x + e) como una bola en la métrica de sentido, a continuación, B(e, x) := (x - s, x + e). Así que vamos a x cualquier punto en Int(S), entonces existe r > 0 tal que B(r,x) se encuentra en S. Reclamo: B(r/2, x), está contenida en el Int(S). Sea y a cualquier punto de a en B(r/2, x), entonces B(r/2,y) está en B(r, x). Para ver esto, vamos a z ser cualquier punto en B(r/2, y), entonces d(z,y) < r/2 y d(y,x) < r/2. De manera que d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) < r/2 + r/2 = r. Por lo que z pertenece a B(r, x). Así B(r/2, y) está en B(r, x) y B(r, x) se encuentra en S. por Lo tanto, B(r/2, y) se encuentra en S. Esto significa que B(r/2, x) es de tipo Int(S). Así que Int(S) está abierto.
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