construir un triángulo con un compás y una regla, dado $a, B, t_a$

Question

Si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, $A,B,C$ son los opuestos a los ángulos internos, respectivamente, y $t_a, t_b, t_c$ son internos bisectrices de los ángulos $A,B,C$, ¿cómo podría construir un triángulo con un compás y una regla dada $a, B, t_a$?

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Muchas gracias!

He tratado de buscar aquí, que muestra varias maneras de construir un triángulo.

Answer 1

Sin este tipo de construcción es posible en general, porque wold cantidad a un compás y una regla de solución de un sextic que es generalmente irreductible. Por ejemplo, no hay ningún compás y regla construcción de un triángulo con $a=t_a$$B = 60^\circ$. [Añade después: una más divertido ejemplo es $B = 90^\circ$ con $t_a/a = \sqrt 2$ o $1/2$, por lo que el problema es equivalente para (de todas las cosas) la construcción de un regular heptagon.]

Deje $a,b,c$ ser de los lados del triángulo. Se nos ha dado $a$, $$ \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} $$ (Ley de Cosenos), y $$ t_a^2 = \frac{bc (b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2} $$ (véase, por ejemplo, Wikipedia, tomando nota de que $2s$$2(s-a)$$b+c \pm a$). Esto le da a las ecuaciones simultáneas en $b,c$ grado $2$$3$; tomando resultantes para eliminar una variable da un polinomio sextic en los otros. Me dicen que este polinomio es generalmente irreductible. Esto es fácil de demostrar computacionalmente por sólo dar un ejemplo. Supongamos que $B$ $60$- grados de ángulo y $a=t_a=1$. Entonces $\cos B = 1/2$, de modo que la Ley de los Cosenos da $b^2 = c^2 - c + 1$, y de pronto nos encontramos con que $c$ es una raíz de $3c^6-3c^5-c^4+4c^3-3c^2-2c+1$, que es irreducible (de hecho, con grupo de Galois $S_6$, la más grande posible dado este nivel). Por lo tanto $c$ no es edificable, QED.

[Añade después: como alternativa, si tomamos $B = 90^\circ$ $b^2 = a^2 + c^2$ y tenemos un cúbicos en $c^2$, que es más sencillo que un azar sextic en $c$ pero en general todavía sin solución; un ejemplo divertido es $a=1$, $t_a = \sqrt 2$, para que $c^2 = 2 \cos (\pi/7)$, por lo que la construcción de un triángulo sería el equivalente con el famoso imposible la construcción de regular heptagon! Asimismo, $t_a = 1/2$ rendimientos $c^2 = \cos(3\pi/7) - \cos^2(3\pi/7)$ , por lo que de nuevo se trata de el unconstructible regular heptagon.]