Pregunta sobre el fundamento de la parte I del libro de A. Zee

Question

Zee dice en la sección I.3 de QFT en pocas palabras:

La integral funcional $$Z = \int D \varphi e^{i \int d^4 x [\frac{1}{2} (\partial \varphi)^2 - V(\varphi) + J(x) \varphi (x)]} \tag{11} $$ es imposible de hacer excepto cuando $$\mathcal L (\varphi) = \frac{1}{2} [(\partial \varphi)^2 - m^2 \varphi ^ 2].\tag{12}$$
La teoría correspondiente se llama teoría libre o gaussiana.

Esta restricción da lugar al nacimiento repentino de la ecuación de Klein-Gordon y también permite prácticamente que toda la parte I del libro se desarrolle tal cual.

Así que, dos preguntas y media:

1. ¿Cómo puedo entender la necesidad de esta restricción? Y, ¿qué significa aquí "imposible de hacer"?
2. A medida que se desarrolla la parte I, Zee explica que lo anterior no está tan "pensado" para ser resuelto, sino que es un funcional generador. Entonces, ¿por qué es necesaria la restricción en primer lugar?

Answer 1

En primer lugar, permítanme decir lo siguiente: Si alguien (¿quizás tú, @V.Moretti?) pudiera aportar una perspectiva más matemática a esta cuestión, creo que sería un valioso complemento a esta respuesta, que puede caracterizarse como pragmática (o manual, ¡según a quién preguntes!), más que profunda.

Dicho esto, voy a responder a ambas subpreguntas:

1. Creo que no hay nada demasiado profundo detrás de esta declaración de Zee. En particular, no creo que quiera hacer una afirmación rigurosa sobre la buena definición de la integral de trayectoria, y la forma en que ésta puede (o no) depender de la forma particular de $\mathcal L$ . Lo que quiere decir es que la teoría del campo libre nos permite - barriendo bajo la alfombra todos los problemas matemáticos serios implicados en la definición de la medida de la integral de trayectoria, etc. etc. - realizar explícitamente esta integración, ya que todo se reduce a nada más que (una versión generalizada de) la integral gaussiana estándar $$ \int_\mathbb R e^{-x^2}\mathrm{d} x$$ En cualquier modelo serio de las interacciones entre las partículas fundamentales tenemos que considerar (de forma poco sorprendente) interacción términos. Estos estropean la -de nuevo, ignorando muchas cuestiones matemáticas- simplicidad de la integral, y se suelen atacar mediante una expansión perturbadora, en lugar de resolverla exactamente.

2. Considerar primero una teoría de campo libre es instructivo desde el punto de vista físico, porque solemos expandirnos en torno a la teoría de campo libre (en el sentido de que consideramos las interacciones pequeñas/débiles). Además, el tratamiento matemático de las teorías que interactúan es bastante similar, por lo que el lagrangiano de campo libre puede considerarse como un excelente ejercicio de calentamiento también en este aspecto, permitiendo al estudiante principiante construir cierta intuición y familiaridad con las técnicas comunes.