Demuéstralo: $\tan^6 20° - 33\tan^4 20° + 27\tan^2 20°=3$

Question

Demuéstralo: $\tan^6 20° - 33\tan^4 20° + 27\tan^2 20°=3$

Mi intento:

$$L.H.S=\tan^6 20 - 33\tan^4 20 + 27\tan^2 20°$$ $$=\tan^2 20°(\tan^4 20° - 33\tan^2 20°+27)$$ $$=(\sec^2 20° -1)(\tan^4 20° - 33\tan^2 20° + 27)$$

Por favor, ayúdame a continuar desde aquí ..

Answer 1

Sea $\pm\sqrt3=\pm\tan60^\circ=\tan3x=\dfrac{3t-t^3}{1-3t^2}$ donde $t=\tan x$

$$\implies t^3-3t=\pm\sqrt3(1-3t^2)$$

Cuadrar ambos lados

O bien observe que $$\dfrac{t^6-33t^4+27t^2-3}{t^3-3t\mp\sqrt3(1-3t^2)}=t^3-3t\pm\sqrt3(1-3t^2)$$

Así que.., $3x=180^\circ n\pm60^\circ$ donde $n$ es cualquier número entero.

$\implies x=60^\circ n\pm20^\circ$

Aquí $n=0$

Answer 2

Mi idea: Conocemos fórmulas para $\cos(20°)$ podemos escribirlo como una relación para $\sec(20°)$ y luego utilizar la identidad $\sec^2(x)=1+\tan^2(x)$

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En primer lugar, calcularemos algunas fórmulas relacionadas con $\cos(20°)$ (muy conocidos, pero no los recuerdo xD). Sabemos que

$$ \cos(3x)=\cos(2x)\cos(x)-\sin(x)\sin(2x)=(2\cos^2(x)-1)\cos(x)-2\sin^2(x)\cos(x)$$

Así que.., $\cos(3x)=2\cos^3(x)-\cos(x)-2(1-\cos^2(x))\cos(x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$ . Enchufar $x=20°$ y llamando a $a=\cos(20)$ obtenemos

$\frac{1}{2}=\cos(60°)=4\cos^3(20^°)-3\cos(x)=4a^3-3a$

Así que.., $1=8a^3-6a$ . Elevando ambos lados al cuadrado, obtenemos $1=64a^6-96a^4+36a^2$ . Ahora, dividiendo por $a^6$ ambos lados, y llamando $b=\frac{1}{a}=\frac{1}{\cos(20^°)}=\sec(20°)$ tenemos

$$ \frac{1}{a^6}=64-\frac{96}{a^2}+\frac{36}{a^4} \Rightarrow b^6=64-96b^2+36b^4 $$

El paso clave ahora es intentar utilizar la identidad $\sec^2(x)=1+\tan^2(x)$ . Llamando a $c=\tan(20^°)$ podemos conectar $b^2=1+c^2$ en nuestra fórmula, para obtener

$$ \begin{align*} (1+c^2)^3 &= 64-96(1+c^2)+36(1+c^2)^2 \\ 1+3c^2+3c^4+c^6 &= 64-96(1+c^2)+36(1+2c^2+c^4) \\ 1+3c^3+3c^4+c^6 &= 64-96-96c^2+36+72c^2+36c^4 \\ 1+3c^3+3c^4+c^6 &= 4-24c^2+36c^4 \\ c^6-33c^4+27c^2 &= 3 \\ \tan(20°)^6-33\tan(20°)^4+27\tan(20°)^2 &= 3 \\ \end{align*}$$

Answer 3

$$\tan60^{\circ}=\sqrt3$$ da $$\frac{3\tan20^{\circ}-\tan^320^{\circ}}{1-3\tan^220^{\circ}}=\sqrt3,$$ que da $$\left(\frac{3\tan20^{\circ}-\tan^320^{\circ}}{1-3\tan^220^{\circ}}\right)^2=3,$$ que da tu identidad.