¿Cuál es un ejemplo de una teoría que es coherente aún no tiene ningún modelo?

Question

Por el teorema de completitud de primer orden de la lógica, si una teoría es consistente, entonces tiene un modelo.

Pero lo que es un contraejemplo a esta : ¿cuál es un ejemplo de una lógica donde la teoría es consistente, sin embargo no tiene modelo?

Más específicamente, quiero saber acerca de la lógica de segundo orden... Ya que por lo que entiendo la integridad teorema no se aplica a él, ¿cuál sería un ejemplo de una constante de segundo orden de la teoría que no tiene ningún modelo?

Answer 1

Tome la segunda a la teoría en el lenguaje de la $\leq$ que afirma que:

1. $(A,\leq)$ es un orden lineal sin un elemento maximal.
2. Cada conjunto no vacío tiene un mínimo elemento.
3. Cada delimitada conjunto tiene un elemento maximal.

Esto significa que $(A,\leq)$ es isomorfo a $\Bbb N$ con su orden usual. Ahora agregue una cantidad no numerable de constante de símbolos para el idioma$c_i$$i\in I$, y añadir los axiomas $c_i\neq c_j$ por cada $i\neq j$.

Por supuesto, esta teoría no tiene un modelo, desde un modelo isomorfo a$\Bbb N$, pero tendrá una cantidad no numerable de elementos. Pero dado cualquier número finito de axiomas, podemos interpretar en el orden habitual en $\Bbb N$, de modo que no es posible demostrar una contradicción. Por lo tanto, la teoría es consistente.

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Si usted no desea utilizar un incontable idioma, agregar$c_i$$i\in\Bbb Z\setminus\Bbb N$, y la afirmación de que $c_i<c_j$ siempre $i<j$. De nuevo un número finito de axiomas son interpretables en el habitual $\Bbb N$, lo que muestra la consistencia, pero no hay ningún modelo que es isomorfo a $\Bbb N$ y no está bien ordenado.

Si usted no desea utilizar un idioma infinito, sólo tiene que añadir una constante símbolo, $c$ y los axiomas que decir que $c$ no es el mínimo elemento, no el sucesor de el mínimo elemento, y así sucesivamente y así sucesivamente (tenga en cuenta que la función sucesor es definible en $\Bbb N$$\leq$, incluso en la lógica de primer orden). El mismo argumento desde arriba se aplica.

Answer 2

Si lo que desea es una lógica general donde una teoría sintácticamente es consistente, pero no tiene modelo, comienza con los habituales de la lógica de primer orden, pero tenga en cuenta la semántica, donde sólo tenemos finito de modelos. Hay muchos coherente de teorías que sólo modelos infinitos; que, en nuestra nueva lógica de estas teorías serán consistentes, pero no modelos.

Que ejemplo tiene el mismo problema como de segundo orden, la lógica, la verdad. El teorema de completitud de segundo orden de la lógica no se sostiene si hacemos uso de una semántica particular, se conoce como semántica completa. El punto de semántica completa es que se excluye por fiat muchos de los modelos que de otra manera satisfacer de segundo orden teorías, al igual que nuestra lógica de primer orden con sólo finita modelos.

Intuitivamente, es fácil ver por qué esto provocaría que el teorema de completitud de un error: la integridad teorema dice que cada coherente de la teoría tiene un modelo en el sentido general. Pero si empezamos a reducir el conjunto de "admisible" de los modelos, podemos excluir todos los modelos de alguna teoría en particular. La teoría todavía ser sintácticamente consistente - no ha cambiado en absoluto!

Podemos encontrar ejemplos de teorías con ningún modelo completo tomando teorías que son sintácticamente incompleta, pero que sólo tienen un modelo completo. Por ejemplo, hay un axiomatization $T$ de la aritmética con la propiedad de que su único modelo completo es el modelo estándar. Si tomamos $T + \lnot\text{Con}(T)$, esto va a ser consistentes a través de Goedel del teorema de la incompletitud, pero no tendrá ningún modelo completo.

He escrito algo más acerca de esto aquí.