Supongamos que el pdf de $X$$f(x) = \frac{-3}{4} (x-3)(x-5)$. Encontrar el pdf de $X^2/8$.

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria continua con un pdf de $f(x) = \frac{-3}{4} (x-3)(x-5)$ with $3\leq x \leq 5$. What is the pdf of the random variable $$Y, donde $Y = X^2/8$.

Mi intento: Primero me doy cuenta de que si $X\in[3,5]$,$Y\in[9/8, 25/8]$.

Yo derivada de la función de distribución acumulativa de la siguiente manera: $$P(Y<y) = P(X^2<8y)=P(-\sqrt{8y}<X<\sqrt{8y})=\int_{-\sqrt{8y}}^{\sqrt{8y}}{f(x)dx}=-\sqrt{2y}(8y+45)$$

Luego se diferencian esta cdf para obtener el pdf de $Y$:$$\frac{d}{dy}(-\sqrt{2y}(8y+45)) = -\frac{3(8y+15)}{\sqrt{2y}}$$

Sin embargo, cuando traté de integrar este pdf: $\int_{9/8}^{25/8} {-\frac{3(8y+15)}{\sqrt{2y}}dy} =-94\neq1$

Resulta que la integral no es igual a 1, lo que sugiere que hay algo mal con mi respuesta. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$$\int_{-\sqrt{8y}}^{\sqrt{8y}} f(x)\ dx = \int_{-\sqrt{8y}}^{3} f(x)\ dx +\int_{3}^{\sqrt{8y}} f(x)\ dx$$

El primer término es cero debido a que $f(x)=0$ en ese rango. Si $3\le\sqrt{8y}\le5$, entonces usted puede ir e integrar el segundo término.