Si $(a_n)\to A\neq 0$ $(a_n b_n)\to AB$ $(b_n)\to B$

Question

Deje $(a_n)$ e $(b_n)$ ser secuencias. Si $(a_n) \to A\neq 0$ e $(a_n b_n)\to AB$ entonces $(b_n)\to B$

Sé que necesitamos para mostrar esto para $A > 0$ e $A < 0$. Pero estoy teniendo problemas usando las suposiciones para deducir que

$$|b_n - B| < \epsilon$$

Yo sé que desde $<a_n>\to A$ entonces existe un $N_1\in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N_1$

$$|a_n - A| < \epsilon$$

Del mismo modo, desde la $<a_n b_n>\to AB$ entonces existe un $N_2\in\mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N_2$

$$|a_n b_n - AB| < \epsilon$$

Cualquier ayuda se agradece.

Información de fondo:

Teorema 8.7 - Si la secuencia de $(a_n)$ converge a $A$ y la secuencia de $(b_n)$ converge a $B$ , a continuación, la secuencia de $(a_n b _n)$ converge a $AB$

Lema 8.1 - Si $a_n\neq 0$ para todos los $n\in\mathbb{N}$ e si $(a_n)$ converge a $A\neq 0$ , a continuación, la secuencia de $(1/a_n)$ converge a $1/A$

Intento de prueba - Usar estos dos teoremas anteriores, podemos escribir la $(a_n b_n/a_n) = (b_n)$ que converge a $B$.

Yo no creo que esta sea completa alguien me puede ayudar a añadir detalles?

Answer 1

La prueba es correcta, pero me gustaría recomendar que justifiquen que $a_n \neq 0$ para todos los $n$ lo suficientemente grande. Tenga en cuenta que esto es necesario para dar sentido a la expresión $$ b_n = \left( \frac{a_nb_n}{a_n} \right). $$ Para justificar ese $a_n \neq 0$ para todos los $n$ suficientemente grande, vamos a usar ese $A = \lim{a_n} \neq 0$. Debido a $a_n \to A$existe $N \in \mathbb{N}$ tales que $$ |a_n - A| < \epsilon = \frac{|a|a}{2} $$ para todos los $n \geq N$. Por lo tanto, para todos los $n$, \begin{align*} |A| - |a_n| \leq \left\vert a_n - A \right\vert< \frac{|A|}{2} \end{align*} donde $$ 0 < \frac{|a|a}{2} < |a_n|, \quad \forall n\geq N. $$ Esto significa que el $N$-cola de $(a_n)$ nunca es cero y, en consecuencia, la secuencia de $$ \frac{b_n}{a_n} $$ es bien definidos para todos los $n \geq N$ (y sólo se preocupan realmente de la cola de una secuencia cuando se habla de límites). Entonces, invocando el teorema y el lema que he citado, se deduce que \begin{align*} \lim{b_n} = \lim\left(\frac{a_n b_n}{a_n} \right) = \frac{\lim(a_nb_n)}{\lim{a_n}} = \frac{AB}{A} = B. \end{align*}

Answer 2

Tenga en cuenta que si $a_n \to a$ entonces la sucesión es acotada, es decir, hay algo de $L$ tal que $|a_n| \le L$.

Supongamos $b_n \to b$ entonces $|a_nb_n-ab| \le |a_n b_n -a_n b| + |a_n b - ab| \le L|b_n-b|+|b||a_n-a|$. Por lo tanto $a_nb_n \to ab$.

Supongamos $a \neq 0$. Desde $a_n \to a$, podemos ver que $|a_n| \ge {1\over 2} |a|$ para $n$ suficientemente grande (y por lo tanto distinto de cero). A continuación, $|{1 \over a} - {1\over a_n}| = {|a_n-a| \over |a a_n|} \le {2 \over |a|^2} |a_n-a|$ y, por tanto, ${1 \over a_n} \to {1 \over a}$.

Por lo tanto, si $a_nb_n \to ab$ e $a_n \to a \neq 0$luego $a_n b_n {1 \over a_n} = b_n \to ab {1 \over a} = b$.