Demostrar los siguientes techo y el suelo de las identidades?

Question

Podría alguien ayudarme a probar estas identidades? Estoy perdido:

$$\begin{align*} &(1)\quad \left\lceil \frac{\left\lceil \frac{x}{a} \right\rceil} {b}\right\rceil = \left\lceil {\frac{x}{ab}}\right\rceil\\\\ &(2)\quad\left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{x}{a} \right\rfloor} {b}\right\rfloor = \left\lfloor {\frac{x}{ab}}\right\rfloor\\\\ &(3)\quad \left\lceil {\frac{a}{b}} \right\rceil \le \frac{a + b - 1}{b}\\\\ &(4)\quad \left\lfloor {\frac{a}{b}} \right\rfloor \le \frac{a - b + 1}{b} \end{align*}$$

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El uso de la universal de las propiedades del suelo y del techo hace que tales pruebas mecánicas, p. ej.

$\rm {\bf Lemma}\quad\ \lfloor x/(mn)\rfloor = \lfloor{\lfloor x/m\rfloor}/n\rfloor\quad for\ \ \ n > 0$

$\rm\begin{eqnarray} {\bf Proof}\quad\ &&\rm\ \ k &\,\le&\rm \lfloor{\lfloor x/m\rfloor}/n\rfloor\\ \\ &\iff\ &\rm \ \ k &\,\le&\rm \ \, {\lfloor x/m\rfloor}/n\\ \\ &\iff\ &\rm nk &\,\le&\rm\ \,\lfloor x/m\rfloor \\ \\ &\iff\ &\rm nk &\,\le&\rm\ \ \, x/m \\ \\ &\iff\ &\rm\ \ k &\,\le&\rm\ \ \, x/(mn)\\ \\ &\iff\ &\rm\ \ k &\,\le&\rm\ \lfloor x/(mn)\rfloor \end{eqnarray}$

Answer 2

Usted puede trabajar directamente a partir de las definiciones. Voy a hacer $(2)$ $(3)$ a ilustrar.

$(2)$ Primera nota que desee $a$ $b$ a ser positivo. Si no, usted podría tener $x=\frac12$$a=b=-1$, en cuyo caso la del lado izquierdo es $$\left\lfloor-\left\lfloor-\frac12\right\rfloor\right\rfloor=\lfloor-(-1)\rfloor=1\;,$$ and the righthand side is $\a la izquierda\lfloor\frac12\right\rfloor=0$. You also want them to be integers: if $x=2$ and $a=b=\sqrt2$, the lefthand side is $$\left\lfloor\frac{\lfloor\sqrt2\rfloor}{\sqrt2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac1{\sqrt2}\right\rfloor=0\;,$$ and the righthand side is $1$. I will assume, then, that $un$ and $b$ son números enteros positivos.

Deje $m=\left\lfloor\dfrac{x}a\right\rfloor$$n=\left\lfloor\dfrac{x}{ab}\right\rfloor$. Entonces $$m\le\frac{x}a<m+1\quad\text{and}\quad n\le\frac{x}{ab}<n+1\;,\tag{1}$$ and you need to show that $\a la izquierda\lfloor\dfrac{m}b\right\rfloor=n$, i.e., that $$n\le\frac{m}b<n+1\;.\tag{2}$$ Divide the first inequality in $(1)$ by $b$ to get $$\frac{m}b\le\frac{x}{ab}<\frac{m}b+\frac1b\;,$$ where $b\ge 1$. Now what would happen if $(2)$ failed? That would mean that either $\frac{m}b<n$, or $\frac{m}b\ge n+1$. It's not hard to show that both are impossible. Suppose first that $\frac{m}b<n$. Then $\frac{m}b\le la n-\frac1b$. (Why? Use the fact that $m,n$, and $b$ are integers.) Thus, $$\frac{x}{ab}<\frac{m}b+\frac1b\le n\;,$$ contradicting the second inequality in $(1)$. And if $\frac{m}b\ge n+1$, then $$\frac{x}{ab}\ge\frac{m}b\ge n+1\;,$$ again contradicting that inequality. So $(2)$, que es exactamente lo que nos proponemos demostrar, debe ser cierto.

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$(3)$ Deje $m=\left\lceil\dfrac{a}b\right\rceil$, por lo que el $m-1<\dfrac{a}b\le m$. Debido a $a,b$, e $m-1$ son enteros, $$\frac{a}b-(m-1)\ge\frac1b\;,$$ and therefore $$m\le\frac{a}b+1-\frac1b=\frac{a+b-1}b\;,$$ que es exactamente lo que queríamos.