Derivada de la integral

Question

Estoy teniendo un pequeño problema con el siguiente problema:

Calcular $F'(x)$ :

$F(x)=\int_{1}^{x^{2}}(t-\sin^{2}t) dt$

Dice que tenemos que utilizar la sustitución, pero no veo por qué la respuesta no puede ser simplemente:

$x-\sin^{2}x$

Answer 1

Se puede aplicar la siguiente regla más general ( Regla de Leibniz y regla de la cadena ), aunque la respuesta de Isaac es más sencilla para esta derivada: Si [ editado en respuesta a un comentario de Didier Piau a este respuesta mía ]

$$I(x)=J(u(x),v(x),x),\quad \text{with}\ J(a,b,x)=\int_a^bf(t,x)dt,$$

entonces, bajo condiciones adecuadas, tenemos

$$I^{\prime }(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}\dfrac{\partial f(t,x)}{\partial x}dt+f(v(x),x)v^{\prime }(x)-f(u(x),x)u^{\prime }(x).$$

En este caso:

$$F(x)=I(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{2}}(t-\sin ^{2}t)dt,$$

y

$$u(x)=1,\quad v(x)=x^{2},\quad f(t,x)=(t-\sin ^{2}t),$$

$$\dfrac{\partial f(t,x)}{\partial x}=0,\quad v^{\prime }(x)=2x,\quad u^{\prime }(x)=0.$$

Por lo tanto,

$$F^{\prime }(x)=I^{\prime }(x)=(x^{2}-\sin ^{2}x^{2})2x=2x^{3}-2x\sin ^{2}x^{2}.$$

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Las condiciones son: $u(x),v(x)$ son funciones diferenciables, $f(t,x)$ es un función continua y $\partial f/\partial x$ existe y es continua.

Answer 2

Porque el límite superior de la integral es x^2, no x.

Answer 3

Si tuvieras $G(x)=\int_{1}^{x}(t-\sin^{2}t) dt$ (nota que es sólo $x$ en el límite superior de la integral), entonces $G'(x)=x-\sin^2x$ . Pero, usted tiene $F(x)=\int_{1}^{x^{2}}(t-\sin^{2}t) dt=G(x^2)$ Así que $F'(x)=G'(x^2)\cdot2x=(x^2-\sin^2x^2)2x$ (utilizando la regla de la cadena).

Answer 4

$\displaystyle{% {{\rm d} \over {\rm d}x} = 2x\,{{\rm d} \over {\rm d}\left(x^{2}\right)} }$

Answer 5

Bueno, según yo, la respuesta es $$F'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) \cdot [x^{2}-\sin^{2}(x^{2})] - \frac{d}{dx}(1) \times \text{something} = 2x \cdot \Bigl[x^{2} -\sin^{2}(x^{2})\Bigr] - 0$$ sería la respuesta.