Considere dos (no idéntica) simétrica Laplaciano matrices $L_1$ $L_2$ y una matriz diagonal $D > 0$. Mi pregunta es si los autovalores del producto $A =L_1 D L_2$ no-real negativo-parte. Es bien sabido que el producto de dos positivos semi-definida matrices tienen autovalores con los no-negativo de la parte real. (ver, por ejemplo, el libro de Bernstein: Matriz de las Matemáticas, de la Teoría, de los Hechos y Fórmulas). Extensas simulaciones muestran que $A$ ha hecho autovalores con los no-negativa de la parte real y que esto no es cierto en general si $L_1$ $L_2$ fueron "sólo" positiva semi-definida matrices. Sin embargo, yo he sido, tratando de similitud de las transformaciones y Sylvester ley de la inercia, incapaz de encontrar una prueba. Por supuesto, un contraejemplo sería muy útil también.
Respuesta
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La respuesta es no. Un azar contraejemplo: los autovalores de $$ A=\pmatrix{1&0&-1\\ 0&1&-1\\ -1&-1&2} \pmatrix{1\\ &3\\ &&1} \pmatrix{2&-1&-1\\ -1&1&0\\ -1&0&1} =\pmatrix{3&-1&-2\\ -2&3&-1\\ -1&-2&3} $$ se $0$$\frac12(9\pm i\sqrt{3})$, lo $A$ tiene un no-real de los autovalores. Cuando la matriz son los tamaños más grandes (como $5\times5$), incluso se puede obtener fácilmente un contraejemplo en el que $A$ tiene un real negativo autovalor.
Edit. Otro contraejemplo: la matriz producto \begin{align*} A&=\pmatrix{ 1& 0& 0&-1& 0\\ 0& 2&-1& 0&-1\\ 0&-1& 2& 0&-1\\ -1& 0& 0& 1& 0\\ 0&-1&-1& 0& 2} \pmatrix{1\\ &3\\ &&3\\ &&&3\\ &&&&3} \pmatrix{ 2&-1& 0& 0&-1\\ -1& 2& 0& 0&-1\\ 0& 0& 1&-1& 0\\ 0& 0&-1& 1& 0\\ -1&-1& 0& 0& 2}\\ &=\pmatrix{ 2&-1& 3&-3&-1\\ -3&15&-3& 3&-12\\ 6&-3& 6&-6&-3\\ -2& 1&-3& 3& 1\\ -3&-12&-3& 3&15}, \end{align*} tiene un eigenpair $(\lambda,v)$ donde$\lambda\approx-0.2111<0$$v\approx(0.46902,\,0.30552,\,-0.61103,\,-0.46902,\,0.30552)^T$.
