¿Existe un nombre para $(X,S)$ donde $X$ es un conjunto y $S\subseteq X$ y un morfismo $(X,S)\overset{\alpha}{\longrightarrow}(X^\prime,S^\prime)$ es una función $\alpha:X\rightarrow X^\prime$ tal que $x\in S\implies \alpha(x)\in S^\prime$ ?
Esta estructura me parece interesante, ya que muchas estructuras matemáticas pueden expresarse de esta manera.
Si los conjuntos tienen una topología, es un par de espacio . Así que podría llamar a sus conjuntos es un par de conjuntos . La categoría que describes se describe a veces como la categoría relativa de los conjuntos. No conozco ningún nombre para ella, yo la llamaría $\texttt{RelSet}$ .
Si el subconjunto es siempre un único punto (es decir, un singleton), se llama conjunto puntiagudo y la categoría se denota por $\texttt{Set}^*$ .
El par de conjuntos armoniza con el par de espacios pero me hace pensar en cualquier par de conjuntos. Una analogía con los conjuntos puntuales son los conjuntos puntuales. Pero sería bueno saber si alguien lo ha nombrado antes.
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Sé que los pares de espacios se utilizan en topología algebraica, y he descubierto por mí mismo que la categoría de las álgebras de Clifford (o álgebras exteriores, si se prefiere) se rige por este cuadro de pares. Supongo que también se puede considerar la categoría de extensiones de campo un ejemplo (donde $\alpha$ es un isomorfismo de campos). ¿Qué otros ejemplos has encontrado? Me interesa...
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@rschwieb: Mi punto de vista sobre esto es algo filosófico. He incluido ejemplos en mi perfil: math.stackexchange.com/users/171248/lehs?tab=profile