Tomando rastro de vector de valores de formas diferenciales

Question

¿Alguien puede por favor dar alguna referencia en la toma de traza de vector de valores de formas diferenciales?

Como si $A$ $B$ son dos de vector de valores de las formas a continuación, quiero entender cómo y por qué esta ecuación es verdadera?

$dTr(A\wedge B) = Tr(dA\wedge B) - Tr(A\wedge dB)$

Un caso particular en el que estoy interesado en que se al $A$ es una Mentira Álgebra con valores de un formulario en 3-colector. A continuación, me gustaría saber ¿cuál es el significado preciso/definición de la $Tr(A)$ o $Tr(A\wedge dA)$ o $Tr(A\wedge A \wedge A)$?

¿En general, la situación es un indicio de un vector de valores de diferencial de la forma definida?

Sería genial si alguien puede darle un local de coordinar la expresión de tales huellas.

Todas las referencias a aprender esto sería de gran ayuda.

Answer 1

No sé a qué te refieres por el vector de valores de la forma, exactamente. Pero la ecuación de la siguiente manera a partir de dos hechos:

• $d$ satisface la (clasificado) Leinbiz ecuación de $$d(A\wedge B) = dA\wedge B + (-1)^{\text{degree of $$}}A\wedge dB,$$
• y $\mathrm{Tr}$ es lineal y desplazamientos con $d$, por lo que el $$d\,\mathrm{Tr}(A)=\mathrm{Tr}\,dA.$$

Answer 2

Usted puede definir una traza en cualquier espacio vectorial $V$ donde hay una representación de $V$ en algún otro espacio de $W$ sólo mediante la selección de una base sobre la $W$, la definición de la traza en $V$ como matriz de seguimiento (cada elemento de a $V$ se convierte en una matriz con respecto a la base de $W$) y demostrando que en virtud de un cambio de bases, el seguimiento de las estancias de la misma.

Ahora, ¿qué hacer en el caso de $V$valores de formas diferenciales? En primer lugar, supongamos que hay una representación de $V$ en algunas de espacio vectorial. Sin el supuesto de que no tiene ningún sentido dejar rastro, creo. Y al menos para un finito dimensional álgebras de Lie, no siempre es una representación, el adjunto de la representación. Así que tenemos una lineal mapa de $\operatorname{tr}: V \to \mathbb{R}$.

Recordemos que un $V$valor diferencial de la forma en $M$ es un buen mapa de $\omega : TM \to V$ tal que $\omega$ restringido a cualquier espacio de la tangente $T_p M$ es un elemento de la $V$valores exterior álgebra $\Lambda^n (T_p M, V)$$T_p M$. Es decir, la restricción $\omega_p$ es completamente antisimétrico mapa de $\omega_p : T_p M \times T_p M \times \cdots \times T_p M \to V$.

Por $\operatorname{tr}(\omega)$, acabamos de decir que la composición de la $\operatorname{tr} \circ \omega$. Acabamos de alimentar a todo lo que el diferencial de la forma que nos da en el seguimiento de la operación. Es una verdadera valores de forma diferenciada.

Ahora, si usted también tiene una multiplicación definida en $V$, como será el caso si no existe una representación (ordinarios, la multiplicación de la matriz), también se puede definir la cuña de producto $\wedge$ de forma análoga a los verdaderos valores de los casos, tan sólo introduciendo la $V$-multiplicación en lugar de la ordinaria de la multiplicación escalar. Mariano ya se ha explicado, satisface las Leibniz ecuación. Mariano también explicó que la tr es lineal y por lo tanto, podemos tirar de la $-$ a través de la traza.

Para casos especiales: tenga cuidado con la Mentira de álgebra valores de formas diferenciales! Hay al menos dos posibles $\wedge$ de los productos, dependiendo de si se puede definir a la multiplicación en el adjunto de la representación o de la Mentira de soporte! La diferencia es que normalmente sólo es un factor, pero aún así uno debe ser claro acerca de lo $\wedge$ uno de los usos. Así que por favor aclarar esto.