Estoy tratando de entender una prueba en un libro. (Willard, Topología General, p. 45)
Teorema : Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos y $f : X \to Y$ . Si para cada $E \subseteq X$ , $f(\operatorname{Cl}_X(E)) \subseteq \operatorname{Cl}_Y f(E)$ entonces $f$ es continua en $X$ .
Prueba : Dejemos que $x \in X$ y que $V$ sea una vecindad abierta de $f(x)$ . Establecer $E = X - f^{-1}(V)$ y que $U = X - \operatorname{Cl}_X E$ . Es fácil comprobar que, dado que $f(\operatorname{Cl}_X E) \subseteq \operatorname{Cl}_Y f(E)$ tenemos $x \in U$ . Es aún más claro que $f(U) \subseteq V$ . Por lo tanto, $f$ es continua en $x$ .
No he podido demostrar que $x \in U$ y $f(U) \subseteq V$ .
Trabajo de raspado : Para la primera parte, si supongo por contradicción que $x \notin U$ entonces $x \in \operatorname{Cl}_X E$ y por hipótesis $f(x) \in \operatorname{Cl}_Y f(E) = \bigcap\{K$ cerrado en $Y : f(E) \subseteq K\}$ . Pero $f(E) \subseteq Y - V$ que está cerrado. Así que $f(x) \in Y - V$ lo que significa $x \notin f^{-1}(V)$ lo que significa $x \in E$ . Pero entonces $x \notin f^{-1}(V)$ , una contradicción ya que $f(x) \in V$ . ¿Es esto correcto? No consigo llegar a ninguna parte con la segunda parte ( $f(U) \subseteq V$ .
