Transformaciones de coordenadas n-esfera a coordenadas cartesianas.

Question

Me preguntaba cómo iba a proceder a la conversión entre sistemas de coordenadas en $ \mathbb R^n $.

Para $ \mathbb R^2 $ la conversión es sencilla y sólo la trigonometría básica. Dado $(r, \theta)$ podemos convertir estas coordenadas polares a coordenadas cartesianas a $(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta)$

De la misma manera para $ \mathbb R^3 $. Dado $(r,\theta_1,\theta_2)$ esféricas en coordenadas, podemos convertir el esférico coordenadas a coordenadas cartesianas con la siguiente transformación $(x=r\cos\theta_2\cos\theta_1,y=r\cos\theta_2\sin\theta_1, z=r\sin\theta_2)$, así es mi punto de referencia es clara:$\theta_1$es el ángulo de la mentira en el plano x-y, y $\theta_2$ es el ángulo que el vector forma con el plano x-y.

Entonces, ¿qué acerca de cuatro dimensiones y de seguridad? Por el bien de la simplicidad, podemos definir la n-esfera vector como $(r,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n)$ y el cartesianas de los vectores $(x_1,x_2,...,x_n)$ y mantener la misma referencia de $\theta_1,\theta_2$ como antes.

¿Cómo podemos definir una transformación en $ \mathbb R^4 $?

Un vistazo a esta página de la wikipedia bajo el esférico coordenadas de la sección me dio algo que no creo que sea del todo correcto.

Como de acuerdo con la sección

$(x_1=r\cos\theta_1,x_2=r\sin\theta_1 \cos\theta_2,x_3=\sin\theta_1 \sin\theta_2\cos\theta_3,...)$ que ya está en contradicción con mi declaración acerca de la $ \mathbb R^3$ transformaciones.

¿Cuál es la transformación general de la regla? Me estoy perdiendo algo que yo debería saber de álgebra lineal que yo podría estar olvidando porque mi álgebra lineal es oxidado? Si es así, por favor, hágamelo saber lo que debo revisar o me apunte en la dirección correcta.

Answer 1

Estás malinterpretando las fórmulas en el artículo de Wiki. Tal y como está escrita, que sólo tienen sentido para $n \ge 4$, ya que la última fórmula (por $x_n$) rompe el patrón. Para $n=3$, el significado es claramente lo que usted tiene (hasta el cambio de nombre de las variables).

Para $n=4$, hay varias formas de configurar las coordenadas. Por ejemplo, como en la Wikipedia: $$ \begin{align*} x_1 &= r \cos\theta_1 \\ x_2 &= r \sin\theta_1 \cos\theta_2 \\ x_3 &= r \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\ x_4 &= r \sin\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 \end{align*} $$ Pero las siguientes obras: $$ \begin{align*} x_1 &= r \cos\theta_1 \cos\alpha \\ x_2 &= r \sin\theta_1 \cos\alpha \\ x_3 &= r \cos\theta_2 \sin\alpha \\ x_4 &= r \sin\theta_2 \sin\alpha \end{align*} $$ Y como $n$ crece, también lo hace el número de las posibilidades. Se pueden clasificar por el dibujo de algún tipo de árbol, diagramas. (Esto se hace en los papeles por Kalnins y Miller a partir de la década de 1980, donde se clasifican los sistemas de coordenadas en el que el de Hamilton–Jacobi ecuación de la mecánica clásica que se pueda resolver por separación de variables, pero su esquema general es más complicado, ya que implica no sólo a coordenadas esféricas, sino también elipsoidal y paraboloidal coordenadas.)