función polinómica localmente a globalmente polinómica.

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Supongamos que f es localmente polinómica (cada $x \in \mathbb{R}$ tiene un barrio $(x-\delta; x +\delta)$ donde $f$ coincide con algún polinomio). Demostrar que f es polinómica (coincide con algún polinomio en todo $\mathbb{R}$ ).

Answer 1

Pista: Demuestre que el conjunto de puntos, en cuya vecindad la función está dada por un polinomio fijo $p$ es tanto abierta como cerrada y utiliza la conectividad de $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Localmente en el origen, $f$ coincide con algún polinomio $p$ ; dejar que $I$ sea el mayor intervalo tal que $f = p$ en $I$ . Observe que $I$ está necesariamente abierta. Supongamos que $I \neq \mathbb{R}$ por ejemplo $s=\sup(I) \notin I$ . Localmente en $s$ , $f=p'$ para algún polinomio $p'$ . Pero $p=p'$ en algún intervalo por lo tanto $p=p'$ en $\mathbb{R}$ : contradicción con la maximalidad de $I$ .

Answer 3

Alternativamente, para cualquier $x_0$ encontrar $p(x)$ sea un polinomio tal que $f(x)=p(x)$ en $(-\delta,+\delta)$ . A continuación, tome la unión de todos los intervalos abiertos que contienen $0$ en el que $f(x)=p(x)$ . Esta unión es abierta y está conectada por un camino. Demostrar que no tiene infimo ni supremio.