O bien$f$ es un polinomio o$|f(z_j)| > e^{n|z_j|}. $

Question

A mí y a un amigo mío no logran resolver el siguiente problema.

Deje $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ser un todo holomorphic función de tener un número finito de ceros. A continuación, cualquiera de $f$ es un polinomio o hay una sucesión $\{z_j\}$ tal que $z_j \to \infty$ y no existe $r$ tal que eventualmente $$|f(z_j)| > e^{r|z_j|}. $$

Los intentos de

Vamos a llamar a $h = \frac{f}{g}$ donde $g$ es el polinomio que se desvanece en los ceros de $f$ con la misma multiplicidad de $f$.

• Hemos tratado de buscar en $\frac{h'}{h}$, la derivada logarítmica de $h$ , pero sin buenas ideas.

• Se puede observar que a $h$, cuando no es constante, debe haber una singularidad esencial en infty.

Answer 1

Si$f$ no es un polinomio, entonces$h$ no es una función completa sin ceros. Por lo tanto,$\phi = \log h$ es una función completa no constante. Entonces, su derivado en algún punto$z_0$ es distinto de cero. Por la fórmula integral de Cauchy, $$ \ phi '(z_0) = \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_ {| z-z_0 | = r} \ frac {\ phi (z)} {z ^ 2 } \, dz $$ lo que implica que$\max_{|z-z_0|=r}|\phi(z)| \ge r|\phi'(0)|$. Traducido nuevamente en términos de$h$, esto genera $$ \ max_ {| z-z_0 | = r} | h (z) | \ ge e ^ {r | \ phi '(0) |} $$