Supongamos que$M$ es una variedad Riemanniana compacta y simplemente conectada y$f$ es un difeomeorfismo conforme de$M$. ¿Es cierto que$f$ es homotópico (o isotópico) a una isometría de$M$?
¿Cuál sería la respuesta si abandonáramos el supuesto simplemente conectado?
No creo que esto pueda ser cierto en la forma en que lo digas. El punto es que puede reemplazar la métrica dada en$M$ por cualquier cambio de escala conforme sin cambiar los difeomorfismos de conformidad. Sin embargo, un reajuste genérico de una métrica dada en$M$ no debe admitir isometrías. Así que terminaría con la afirmación de que cualquier difeomorfismo conformal es homotópico a la identidad.
Se sabe que si el grupo de transformación de conformación de un colector compacto es compacto, entonces es conjugado a un grupo de isometrías, y si no es compacto, entonces los colectores es la esfera con su estándar de conformación de la estructura (Lelong-Ferrand Obata).
Suponga que el colector no está de conformación de la esfera, entonces cualquier mapa de conformación es una isometría de otra métrica de conformación de la primera. Pero quizás el manifod no tiene isometría en absoluto ; por ejemplo, es fácil construir una métrica en la 2-esfera sin isometría, pero esta medida tiene una gran cantidad de conformación de los mapas.
En el caso de que el colector (conformación) de la esfera, el grupo de conformación de las transformaciones es el Möbius grupo que contiene los grupos de isometrías como un retractarse, por lo que cada conformación de transformación es isotópico a una isometría.
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