Teorema de Richardson para constantes.

Question

Se sabe que no existe un algoritmo para decidir si una función elemental es idénticamente cero o no ( http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson%27s_theorem ).

Pero si considero solo constantes, ¿existe algún algoritmo para decidir una expresión constante compuesta de funciones elementales (por ejemplo,$\ln (\sin 1 - \tan (\pi^2))$), es igual a cero o no?

Answer 1

La página que citas con el tiempo (al menos a partir del 30 de julio de 2015) se vincula a una respuesta a su pregunta acerca de decidability.

• Una expresión algebraica es decidable. Este es también el Tarski-Seidenberg teorema.
• Expresiones algebraicas $\exp$ son decidable si Schanuel la conjetura tiene. De lo contrario, esto es desconocido. Ver Tarski de la función exponencial problema.
• El tiro en el seno y determinar si la expresión de la constante se desvanece es indecidible. (Esto puede estar vinculado a la undecidability de los modelos de los números enteros (a la Incompletitud de Gödel Teoremas), a través de los ceros de $\sin (\pi k)$ para cualquier entero $k$. Ver Hilbert del Décimo Problema y Matiyasevich del Teorema.) Sine no es crítica; cualquier (real)función periódica iba a hacer.

[Modificar:] después de pensar sobre los comentarios: De hecho, cualquier función con un (real)periódico de ajuste de nivel (con positivo periodo mínimo). Todos los no-vacío a nivel de conjunto de las seis funciones trigonométricas de calificar. El caso fácil, para un warm-up, es considerar una función con un periódico discreto nivel.