¿Una norma que sea suficientemente simétrica es inducida por un producto interno?

Question

$\newcommand{\<}{\langle} \newcommand{\>}{\rangle} $

Es un hecho que para cada norma $\| \|$ en un número finito de dimensiones (real) espacio vectorial, su grupo de isometría $\text{ISO}(|| \cdot ||)$ está contenida en algún grupo de isometría de un adecuado interior del producto. (ver esta pregunta).

Ahora supongamos que tenemos una norma $\| \|$ tal que $\text{ISO}(|| \cdot ||)=\text{ISO}(\<,\>)$ para algunas interior del producto.

Es $\| \|$ necesariamente inducida por un producto interior?

Actualización:

La respuesta es sí. El hecho clave es la transitividad de la isometría grupo. En realidad, como se señaló en esta pregunta en MO, la siguiente declaración es verdadera:

Deje $X$ ser finito-dimensional normativa espacio cuya isometría grupo actúa transitivamente sobre la unidad de la esfera (que yo.e, por cada dos unidades de norma de los vectores $x,y∈X$ existe una isometría lineal de $(X, \| \|)$ a sí mismo que envía a $x$ a y). Entonces X es un espacio Euclídeo (es decir, la norma proviene de un producto escalar).

La prueba se descompone en dos pasos:

(1) mostrando que no existe un producto interior $\< ,\>$ cuyo grupo de isometría $\text{ISO}(|| \cdot ||)\subseteq \text{ISO}(\<,\>)$. La idea básica es esta:

$\text{ISO}(|| \cdot ||)$ es compacto, por lo que admite un invariante de la probabilidad de medir, por lo tanto (por un promedio de argumento), existe una Euclídea conservado por ella. (Los detalles se pueden encontrar aquí).

(2) La transitividad de $\text{ISO}(|| \cdot ||)$ junto con (1) impliy que el original de la norma es proporcional a la norma Euclídea.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí y el correspondiente producto interior es proportionnal a $\langle \cdot , \cdot \rangle$. Vamos a denotar $E$ el espacio vectorial e $S$ la esfera asociada al producto interior $\langle \cdot , \cdot \rangle$, es decir, el conjunto de $S=\lbrace x \in E \; | \; \langle x , x \rangle =1 \rbrace$.

La clave para que el lugar es el hecho de que $ISO(\langle \cdot , \cdot \rangle)$ actúa transitivamente sobre $S$. Para la siguiente, vamos a arreglar un elemento $x_0$$S$.

Deje $x\in E$ cualquier elemento de $E$. La definición de $y=\dfrac{x}{\sqrt{\langle x , x \rangle}}$,$y \in S$. Así, por transitividad, existe $u \in ISO(\langle \cdot , \cdot \rangle)$ tal que $y=u(x_0)$. Entonces, tenemos : $$\begin{array}{rcl} \|x\|^2 & = & \| \sqrt{\langle x , x \rangle} y \|^2 \\ & = & \langle x , x \rangle \|y\|^2 \\ & = & \langle x , x \rangle \|u(x_0)\|^2 \\ & = & \langle x , x \rangle \|x_0\|^2 \; \; \; \; \text{as} \; u\in ISO(\langle \cdot , \cdot \rangle)=ISO(\| \cdot \|)\\ \end{array}$$

Por lo tanto, la definición de $\lambda=\|x_0\|^2$, tenemos, para todos los $x \in E$ : $$ \boxed{\| x \|^2 = \lambda \langle x , x \rangle}$$ lo que termina la demostración.