Mi pregunta es: alguien Ha visto Morita contextos introdujo como se hace a continuación?
Yo la primera intención de este como una respuesta a la pregunta "de Referencia de la solicitud: Morita contextos" por el Bey,
pero luego se decidió a formular una pregunta,
ya que de esta manera se tiene una mejor oportunidad de ser notado,
Bey da dos referencias, Rowen del Posgrado Álgebra no conmutativa la Vista y McConnell y Robson es no conmutativa Noetherian Anillos, quejándose de que ni se pasa demasiado tiempo en la Morita contextos, y pide referencias a los textos que tratan este tema en más detalle. Los comentarios y la respuesta a dar tres referencias: Rowen del Anillo de la Teoría - Volumen I, Lam Conferencias sobre los módulos y anillos, y Anderson y Fuller Anillos y categorías de módulos. Permítanme añadir otra referencia, Jacobson Básicos de Álgebra II.
Las definiciones de Morita contextos en los textos citados son para nada esclarecedora.
Por ejemplo,
la descripción de la Morita contexto de un módulo de derecho
en Lam Conferencias sobre los módulos y anillos (implícitamente) implica la comprobación de
muy pocos de "asociatividad de las leyes", y una vez que haya terminado con la definición
se queda con la incómoda sensación de que la comprobación no era suficientemente profundo,
que algunas de las leyes de asociatividad se quedaron fuera.
Y aun cuando la figura cabo una exhaustiva recopilación de leyes de asociatividad
y comprobar todos ellos,
usted todavía puede preguntarse qué mathemagic está haciendo tantas comprobaciones de éxito.
Hay una manera de introducir el contexto Morita de un derecho módulo de $M=M_R$ sobre un anillo de $R$ que no requiere de la comprobación de la "asociatividad de las leyes" desde la asociatividad está cableado en la construcción del contexto.
Como de costumbre, $R_R$ denota el anillo de $R$ considerado como el derecho de regular $R$-módulo.
$\newcommand{\r}{\mathrm{r}}\newcommand{\s}{\mathrm{s}}$
Deje $\r$ $\s$ dos objetos distintos,
deje $X\r:=R_R$$X\s:=M_R$,
$\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}\newcommand{\set}[1]{\{#1\}}$
y establecer$\hom(a,b):=\Hom(Xa,Xb)$$a,b\in\set{\r,\s}$.
Se obtuvo un preadditive categoría $A$ en los dos objetos $\r$$\s$.
$\newcommand{\End}{\mathrm{End}}$
Vamos a escribir $\overline{R}:=\hom(\r,\r)=\End(R_R)$
y $\overline{M}:=\hom(\r,\s)=\Hom(R_R,M_R)$;
$\overline{R}$ es un anillo y $\overline{M}$ es
un aditivo grupo.
Se definen dos mapas: $\varrho\colon\overline{R}\to R : \varphi\mapsto \varphi(1)$
y $\mu\colon\overline{M}\to M : \psi\mapsto\psi(1)$.
El mapa de $\varrho$ es un isomorfismo de anillos,
el mapa de $\mu$ es un isomorfismo de aditivo grupos,
$\newcommand{\compose}{\circ}$
y $\mu(\psi\compose\varphi)=(\mu\psi)\cdot(\varrho\varphi)$
para todos los $\varphi\in\overline{R}$ y todos los $\psi\in\overline{M}$;
es decir, $(\mu,\varrho)$ es un isomorfismo
$\overline{M}_{\overline{R}}\to M_R$ de los módulos.
Ahora identificamos $\overline{R}$ $R$ través $\varrho$, y $\overline{M}$ $M$ través $\mu$. El uso de estas dos identificaciones, vamos a reemplazar el hom-establecer $\hom_A(\r,\r)=\overline{R}$ de la categoría $A$ con el anillo de la $R$, el hom-establecer $\hom_A(\r,\s)=\overline{M}$ con el módulo de $M$, y dejar los otros dos hom-establece como están. De esta manera se obtiene el preadditive categoría $C$ con el hom-conjuntos $$ \begin{gathered} \hom_C(\r,\r)=R~, \qquad \hom_C(\r,\s)=M~, \\ S:=\hom_C(\s,\s)=\hom_A(\s,\s)=\End(M_R)~, \\ N:=\hom_C(\s,\r)=\hom_A(\s,\r)=\Hom(M_R,R_R)~; \end{se reunieron} $$ Esta categoría $C$ es la Morita contexto de la derecha del módulo de $M_R$ $\newcommand{\Mc}{\mathrm{Mc}}$ y será denotado $\Mc(M_R)$.
Vamos a averiguar
cómo los morfismos de la preadditive categoría $\Mc(M_R)$ están compuestas.
Para ello hemos
para saber los inversos de los isomorphisms $\varrho$$\mu$.
Para cada $r\in R$ la inversa de la imagen $r^*:=\varrho^{-1}r\in\overline{R}$
es la multiplicación por la izquierda $r$: $~r^*(r')=r\cdot r'$ para $r'\in R$.
Del mismo modo para
cada $m\in M$ la inversa de la imagen $m^*:=\mu^{-1}m\in\overline{M}$
es la multiplicación por la izquierda $m$: $~m^*(r')=m\cdot r'$ para $r'\in R$.
$\newcommand{\dia}{\diamond}$
Vamos a escribir la composición en $\Mc(M_R)$$u\dia v$,
para distinguirla de la composición de la $x\compose y$ $A$
(que es la composición de funciones).
Entonces, para cualquier $r,r_1\in R$, $m\in M$, $s,s_1\in S$,
y $n\in N$, tenemos
$\newcommand{\Eq}{\,=\,}$
$$
\begin{aligned}
r\dia r_1 ~&\Eq (r^*\compose r_1^*)(1) \Eq r\cdot r_1~, \\
m\dia r ~&\Eq (m^*\compose r^*)(1) \Eq m\cdot r~, \\
s\dia m ~&\Eq (s\compose m^*)(1) \Eq s(m)~, \\
n\dia m ~&\Eq (n\compose m^*)(1) \Eq n(m)~, \\
s\dia s_1 ~&\Eq s\compose s_1~, \\
n\dia s ~&\Eq n\compose s~, \\
r\dia n ~&\Eq r^*\compose n~, \\
m\dia n ~&\Eq m^*\compose n~.
\end{aligned}
$$
Los dos últimos compuestos son los mapas de $M\to R$ resp. $M\to M$, donde
$$
\begin{aligned}
(r\dia n)(m') ~&\Eq r\cdot n(m')~, \\
(m\dia n)(m') ~&\Eq m\cdot n(m')
\end{aligned}
$$
para cada $m'\in M$.
Compare lo anterior con la definición de la Morita contexto de un módulo de derecho en Lam Conferencias sobre los módulos y anillos: Lam, en efecto, se describen en primer lugar las ocho especies de composites $u\dia v$ por encima de, a continuación, se inicia (pero sólo empieza a) comprobación de la asociatividad de esta composición. Dentro de todo, hay dieciséis de los casos para comprobar, todos los controles son sencillos --- pero, como vemos ahora, completamente innecesario. Con nuestro enfoque de la asociatividad de la composición es un hecho.
También existe la idea de un contexto Morita (marca el artículo indefinido).
Si contemplamos,
por un momento o dos, la definición de un contexto Morita,
dicen que en Rowen del Anillo de la Teoría - Volumen I,
te darás cuenta de que lo que describe es una preadditive categoría en dos objetos
- no más, no menos.
