Obtención de una matriz semidefinida positiva a partir de dos matrices definidas positivas

Question

Supongamos que tengo dos matrices hermitianas definidas positivas $A$ y $B$ . Sus valores propios son reales estrictamente positivos.

Consideremos las matrices $A-tB$ para $0 \le t < \infty$ . Mi objetivo es llegar a la conclusión de que hay algunos más pequeños $t$ tal que $A-tB$ tiene cero como valor propio y todos los demás valores propios no son negativos. ¿Cómo puedo demostrarlo (y si es cierto)? Conozco algunos resultados sobre la continuidad (los valores propios de una secuencia convergente de matrices también convergen), pero no estoy seguro de si tal $t$ existe: $$t^* := \inf_{0 \le t < \infty} \{t :\text{ $ A-tB $ has $ 0 $ as an eigenvalue}\} \implies A-t^* B \text{ is positive semi-definite}$$

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que preguntas, pero el conjunto de matrices semidefinidas positivas es un cono convexo en el espacio de matrices hermitianas (visto como un espacio vectorial), y por tanto si conectas una matriz dentro del cono con la matriz fuera del cono, ese segmento de línea intersecará el límite del cono exactamente en un punto, que es la matriz que quieres.

Answer 2

$A-tB=B^{1/2}( B^{-1/2}AB^{-1/2} - tI )B^{1/2}$ que es congruente con $B^{-1/2}AB^{-1/2} - tI$ . Por lo tanto, por la ley de Sylvester de interia, $A-tB$

• es positiva definida siempre que $0\le t<\rho(B^{-1/2}AB^{-1/2})=\rho(AB^{-1})$ ,
• es semidefinida positiva pero singular cuando $t=\rho(AB^{-1})$ y
• tiene un valor propio negativo cuando $t>\rho(AB^{-1})$ .

Por lo tanto, el sólo $t$ (y, por tanto, el mínimo $t$ ) tal que $A-tB\succeq0$ y $A-tB$ es singular es $\rho(AB^{-1})$ .