¿Es$x^4+4x-1$ irreductible en el campo$Q[\sqrt{-7}]$?

Question

Ya sé que esto es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

Ahora, mi plan general es mostrar que no hay root en $\mathbb{Q\sqrt{-7}$ (por lo tanto no lineal factor). Y, a continuación, muestran que dos de los factores cuadráticos son imposibles también.

e,g Para resolver el primer paso, he pensado simplemente conectar algo como $a+b\sqrt{-7}$ con $a,b\in \mathbb{Q}$ en la fórmula para ver si una raíz es posible, pero no se siente muy, muy torpe.

Hay una manera mejor de hacer esto?

Estoy usando el libro de texto Dummit y Foote y estoy trabajando a través de la sección 14.6 en Grupos de Galois de Polinomios y de esto surgió como parte de la solución de uno de los ejercicios (es decir, prueba #10, determinar el grupo de Galois de $x^4+4x-1$).

Answer 1

Edit: Mi respuesta original estaba equivocado; el polinomio es reducible a más de $\Bbb{F}_9$. De hecho $$x^4+4x-1=(x^2+\beta^2x+\beta)(x^2+\beta^6x+\beta^3),$$ donde $\beta\in\Bbb{F}_9$ satisface $\beta^2+\beta-1=0$. Os dejo mi respuesta original aquí para referencia futura:

Si el polinomio es reducible a más de $\Bbb{Q}(\sqrt{-7})$ , entonces también es reducible a través de su anillo de enteros, que es $\Bbb{Z}[\alpha]$ con $\alpha:=\tfrac12(1+\sqrt{-7})$. A continuación, reducir el mod $(3)\subset\Bbb{Z}[\alpha]$, que es el primer en $\Bbb{Z}[\alpha]$, los rendimientos de los $$x^4+4x-1=\overline{f}\,\overline{\vphantom{f}g}\quad\text{ in }\ \Bbb{F}_9[x].$$ Por supuesto, no es difícil factorizar este polinomio más de $\Bbb{F}_9$, y una verificación rápida de la muestra que es irreductible [Edit: no Lo es!]. De ello se desprende que el polinomio es irreducible sobre $\Bbb{Q}(\sqrt{-7})$.