Para una función $f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ definido por 3 condiciones sobre $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ , demuestre que $df(0,0)$ es la identidad.

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ dado por:

$f(x,y)= \begin{cases} (x,y-x^{2}) & if & x^{2} \leq y \\ (x,\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}}) & if & 0 \leq y \leq x^{2} \\ -f(-x,-y) & if & y \leq 0 \end{cases}$

Prueba $df(0,0)$ es la identidad. Si $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ son tales $ x^{2} \leq y$ entonces $f(x,y)=(x,y-x^{2})$ . Así que por definición de la matriz jacobiana tenemos $$df(x,y)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2x & 1 \end{bmatrix}.$$

Así que en este caso, tengo $df(0,0)=I_{2 \times 2}$ como se me exigía.

Los problemas comienzan considerando el caso en que, $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ son tales $0 \leq y \leq x^{2}$ entonces $f(x,y)=(x,\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}})$ . Obteniendo la siguiente matriz jacobiana:

$$df(x,y)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-2y^{2}}{x^3} & \frac{2y}{x^2} \end{bmatrix}.$$

Pero $df(0,0)$ no tiene sentido ya que $\frac{-2y^{2}}{x^3}$ y $\frac{2y}{x^2}$ no tiene sentido evaluado en $(0,0)$ .

Si $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ son tales $y \leq 0 $ entonces $f(x,y)=-f(-x,-y)$ . Y como $-y \geq 0$ podemos considerar los dos casos anteriores. Si se da el primer caso $x^{2} \leq y$ hemos terminado y si $0 \leq y \leq x^{2}$ el segundo caso se mantiene. Pero el segundo caso me preocupa por lo que he mencionado antes.

Cualquier ayuda para terminar esta prueba será apreciada. Gracias.

Answer 1

Para encontrar la derivada parcial de $f$ por ejemplo $x$ en $(0,0)$ tienes que poner $y=0$ primero. Por definición $\frac {\partial }{\partial x} f(0,0)=\lim_{x \to 0} \frac {f(x,0)-f(0,0)} x$ . Su cálculo da la derivada parcial cuando $y \neq 0$ . No se puede poner simplemente $y=0$ en esa expresión. Sin embargo, observe que la derivada parcial que ha obtenido tenía un límite como $y \to 0$ cuando la condición $0\leq y \leq x^{2}$ se satisface. La función tiene realmente derivadas parciales continuas.