Teorema de Cayley Hamilton Intuición

Question

¿Por qué debería ser cierto, intuitivo (no una prueba formal, solo motivaciones) que la matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica?

Answer 1

Se trata de una ampliación de la idea en el comentario de Arturo.

Supongamos que conocemos el espectro de $A$. Entonces el polinomio característico es $$\eqalign{ p(\lambda) &= \prod_{k=1}^n \big(\lambda\lambda_k\big) \cr }$$ Evaluar el polinomio de $A$, y se multiplica por cualquier vector propio de a$A$. $$\eqalign{ p(a)\,v_j &= \prod_{k=1}^n \big (\lambda_kI\big)v_j \cr &= \prod_{k=1}^n \big(\lambda_j-\lambda_k\big)v_j =0 \cr }$$ Esto no es una evidencia completa, pero se sugiere que $\,\,p(A)=0$

Answer 2

Algunos pueden considerar que esta "intuición" sacrilegio, pero muchas personas encuentran que la de Cayley-Hamilton teorema intuitivo porque $$ \chi_A(A)=\det(A\cdot I-A)=\det(a-a)=\det(O_{n\times n})=0 $$ Por supuesto, me dicen que esto podría verse como un sacrilegio, porque este es un notorio falsos de la prueba del teorema.