Considere la solución de Jaynes a la Paradoja de Bertrand utilizando el principio de indiferencia . ¿Por qué no se aplica un argumento similar a la Paradoja de Borel-Kolmogorov ?
¿Hay algún problema en argumentar que, dado que el problema no especifica una orientación para la esfera, la rotación de la esfera no debería afectar a la distribución resultante a la que se llega mediante el proceso limitador elegido?
Por un lado, tenemos una comprensión preteórica e intuitiva de la probabilidad. Por otro, tenemos la axiomatización formal de la probabilidad de Kolomogorov.
El principio de indiferencia pertenece a nuestra comprensión intuitiva de la probabilidad. Creemos que cualquier formalización de la probabilidad debe respetarlo. Sin embargo, como usted señala, nuestra teoría formal de la probabilidad no siempre lo hace, y la paradoja de Borel-Komogorov es uno de los casos en que no lo hace.
Así que, esto es lo que creo que estás preguntando realmente: ¿Cómo resolvemos el conflicto entre este atractivo principio intuitivo y nuestra moderna teoría de la medida de la probabilidad?
Uno podría ponerse del lado de nuestra teoría formal, como hacen la otra respuesta y los comentaristas. Afirman que, si se elige el límite del ecuador en la paradoja de Borel-Kolmogorov de una manera determinada, el principio de indiferencia no se mantienen, y nuestras intuiciones son incorrectas.
Esto me parece insatisfactorio. Creo que si nuestra teoría formal no capta esta intuición básica y obviamente verdadera, entonces es deficiente. Deberíamos intentar modificar la teoría, no rechazar este principio básico.
Alan Hájek, filósofo de la probabilidad, ha adoptado esta posición, y la argumenta de forma convincente en este artículo . Se puede encontrar un artículo más extenso suyo sobre la probabilidad condicional aquí donde también discute algunos problemas clásicos como la paradoja de los dos sobres.
No veo el sentido del "principio de indiferencia". La respuesta del artículo de Wikipedia es mejor: "Las probabilidades pueden no estar bien definidas si el mecanismo o método que produce la variable aleatoria no está claramente definido". En otras palabras, sin ni siquiera restringirnos a cuestiones de probabilidad, "Una pregunta ambigua no tiene una única respuesta inequívoca".
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Dado que se trata de un argumento no matemático, ¡siempre puedes utilizarlo! ¡E igualmente siempre encontrarás a alguien argumentando en contra...!
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Tampoco creo que el argumento de Jaynes cierre el debate sobre la paradoja de Bertrand: hay un número infinito de formas de trazar físicamente líneas al azar, como se discute en este post mío .
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¿Te has dado cuenta de que el artículo de Wikipedia cita a Jaynes sobre la paradoja B-K? " el término 'gran círculo' es ambiguo hasta que especifiquemos cuál es la operación límite que lo produce. El argumento de la simetría intuitiva presupone el límite ecuatorial; sin embargo, el hecho de comer rodajas de una naranja podría presuponer el otro." Me parece que esto responde a su pregunta.
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@whuber: Yo entendí que eso significaba que el que preguntaba tenía que especificar el proceso de limitación. No creí que significara que el principio de indiferencia pudiera utilizarse para forzar una elección única en el proceso limitador. ¿Es así como ves la afirmación?
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Busco sobre todo una visión de cuándo se puede aplicar el principio de indiferencia y cómo aplicarlo. No he visto ninguna aplicación, salvo la paradoja de Bertrand, y me sigue pareciendo bastante mística.
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Sí, porque el llamado "principio" de indiferencia no es ni válido, ni un principio, ni siquiera una afirmación definitiva.
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@whuber: Lol :) Vale, pues sigo intentando entenderlo. Jaynes escribe que el principio de máxima entropía y los priors de Jeffreys son extensiones del principio de indiferencia, y eso me convence bastante. Así que parece que hay algo interesante aquí.