$1$ como raíz común de una ecuación cuadrática

Question

$$ax^2 + bx + c = 0\quad\text{and}\quad bx^2 + cx + a = 0$$ tienen una raíz común.

En mi libro, dice que 1 es una raíz común para esas ecuaciones?

¿Es esto correcto?

Si introducimos 1 en ambas ecuaciones, obtenemos $a+b+c = 0$ no dice nada de que 1 sea una raíz. Ya que no sabemos si el LHS es cero o no.

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Desde la primera tienes $$c=-ax^2-bx$$ así que pon esto en segunda eqaución y obtienes: $$ ax^3-a=0$$ Desde $a\neq 0$ tenemos $x=1$ o solución de $x^2+x+1=0$ .

Answer 2

Dejemos que $t$ es la raíz común,

$at^2+bt+c=0$

$bt^2+ct+a=0$

Resolver para $t^2,t$

y utilizar $t^2=(t)^2$ para eliminar $t$

y encontrar $$0=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(?)$$

Answer 3

Dejemos que $t$ sea la raíz común: $$at^2+bt+c=0\\ bt^2+ct+a=0$$ Resta y factoriza: $$a(t^2-1)+b(t-t^2)+c(1-t)=0 \iff \\ a(t-1)(t+1)-bt(t-1)-c(t-1)=0 \iff \\ (t-1)(at+a-bt-c)=0 \Rightarrow t=1$$