Dé un ejemplo de una función que esté delimitada y continua en el intervalo [0, 1) pero no de manera uniforme continua en este intervalo.

Question

Mis pensamientos se tome $f(x) =\cos(\frac 1x) $ para todos los $ x \in [0,1)$ como sé que esta función es continua de $[0,1)$ y definitivamente no es uniformemente continua como oscilates no uniforme. Mi problema es con la prueba.

Para probar la continuidad haría yo:

Fix $x_0 \in [0,1), \epsilon>0.$ Nos muestra que no existe $\delta>0$ que si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|\cos(\frac 1x) -\cos(\frac 1{x_0})|<\epsilon$

Ahora estoy atascado en cuanto a cómo podría simplificar $|\cos(\frac 1x) -\cos(\frac 1{x_0})|$ o de lo $\delta$ elegir. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Aquí un poco de la intuición:

El Heine-Cantor teorema nos dice que cualquier función entre dos espacios métricos que es continua en un compacto conjunto también es uniformemente continua en ese conjunto (ver aquí para la discusión). A continuación, si $f:X \rightarrow Y$ es uniformemente continua de la función, es fácil demostrar que la restricción de $f$ a cualquier subconjunto de a$X$ sí es uniformemente continua*. Por lo tanto, debido a $[0,1]$ es compacto, las funciones de $[0,1) \to \mathbb{R}$ que son continuas pero no uniformemente continua son aquellas funciones que no pueden ser extendidos a $[0,1]$ en forma continua.

Por ejemplo, considere la función $f:[0,1) \to \mathbb{R}$ define de forma tal que $f(x) = x$. Podemos extender $f$ a $[0,1]$ definiendo $f(1) = 1$, y esta extensión es una función continua sobre un conjunto compacto (por lo tanto, es uniformemente continua). Así, la restricción de esta extensión a $[0,1)$-es decir, la función original-es necesariamente uniformemente continua por (*) anterior.

¿Cómo podemos encontrar una función continua en a$[0,1)$ que no puede ser ampliado continuamente a $[0,1]$? Hay dos formas:

$\qquad \bullet \quad$ Construcción $f$ , de modo que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \pm \infty$

$\qquad \bullet \quad$ Construcción $f$ , de modo que $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ no existe

Tenga en cuenta que si $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ existe, teniendo en $f(1)$ a que el límite de los rendimientos de una extensión continua. De hecho, $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ es, literalmente, una de las definiciones para la continuidad en el punto de $x=c$.

La primera viñeta es descartado por la estipulación de que los $f$ ser limitada, por lo que de pasar a la segunda viñeta, necesitamos asegurarnos de $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ no existe. Una forma de hacerlo (la única manera en que yo creo) es tener $f$ oscilan infinitamente rápidamente con los no-desaparición de amplitud como $x \to 1$. Parece que esto es lo que estaba tratando de explotar, y lo que José Carlos Santos (+1) en su respuesta (ver gráfico a continuación): $\displaystyle f(x) = \cos \left(\frac{1}{1-x} \right)$.

La generalización de su epsilon-delta argumento, se puede ver que esta condición no sólo necesaria, sino también suficiente.

$\qquad \qquad \qquad \qquad$

Answer 2

Tome $f(x)=\cos\left(\frac1{1-x}\right)$. Si era uniformemente continua, entonces, para cada a$\varepsilon>0$, habrá algún tipo de $\delta>0$ tal que $\lvert x-y\rvert<\delta\implies\bigl\lvert f(x)-f(y)\bigr\rvert<\varepsilon$. Pero esto no es cierto. Tome $\varepsilon=1$. Ya no hay valores de $x$ arbitrariamente cerca de $1$ tal que $f(x)=1$ y no hay valores de $x$ arbitrariamente cerca de $1$ tal que $f(x)=-1$, entonces, no importa cuán pequeño $\delta$ es, usted siempre será capaz de encontrar ejemplos de números de $x,y\in[0,1)$ tal que $\lvert x-y\rvert<\delta$ y que $\bigl\lvert f(x)-f(y)\bigr\rvert=2>\varepsilon$