Para f satisfaciendo$\int_\mathbb{R}f(x)dx=M,\int_\mathbb{R}xf(x)dx=0,\int_\mathbb{R}x^2f(x)dx=E$, encuentra$\inf\int_\mathbb{R}f(x)\log f(x) dx$

Question

$f:\mathbb{R}\rightarrow[0,+\infty]$

$\int_\mathbb{R}f(x)dx=M,\int_\mathbb{R}xf(x)dx=0,\int_\mathbb{R}x^2f(x)dx=E$

Por favor, evalúe $\inf\int_\mathbb{R}f(x)\log f(x) dx$

donde $M$ e $E$ se dan constantes.

Creo que esta relacionado con la convexidad de $x\log x$ mientras que hay una pista diciendo que el $f$ que alcanza el mínimo es de una función Gaussiana.

Gracias de antemano.Una sugerencia será apreciado.

Answer 1

Deje $\mathcal{A}$ ser el conjunto de todas las funciones de $f : \mathbb{R} \to [0, \infty]$ la satisfacción de las condiciones dadas. A continuación, $\mathcal{A}$ es convexa. Ahora bien, si definimos $H : \mathcal{A} \to \mathbb{R}$ por

$$ H(f) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \log f(x) \, \mathrm{d}x $$

y elija $f$ a

$$ f(x) = \sqrt{\frac{M^3}{2\pi E}} \, e^{-Mx^2/2E}. $$

De hecho, podemos comprobar que $f \in \mathcal{A}$. A continuación, para cualquier $g \in \mathcal{A}$, el derecho derivado de la $H((1-t)f + tg)$ a $t = 0$ satisface

$$ \left. \frac{d}{dt}\right|_{t=0} H((1-t)f + tg) = \int_{\mathbb{R}} (g(x) - f(x))(1 + \log f(x)) \, \mathrm{d}x = 0 $$

desde $1 + \log f(x)$ es un polinomio cuadrático en $x$ e $f, g \in \mathcal{A}$. Por otra parte, si además de a$g \neq f$, luego

$$ \frac{d^2}{dt^2} H((1-t)f + tg) = \int_{\mathbb{R}} \frac{(g(x) - f(x))^2}{(1-t)f(x) + tg(x)} \, \mathrm{d}x > 0 $$

para cualquier $t \in (0, 1)$, y así, $t \mapsto H((1-t)f + tg)$ es estrictamente creciente. En consecuencia, se deduce que el $H(f) \leq H(g)$ para todos los $g \in \mathcal{A}$ y la igualdad ocurre si, y sólo si $f = g$. Por lo tanto, $f$ es el único minimizer de $H$, y así,

$$ \inf_{g \in \mathcal{A}} H(g) = H(f) = \frac{M}{2}\left( \log \left( \frac{M^3}{2\pi E}\right) - 1 \right). $$